連続性をどこにどう絡めるかで馬鹿みたいに長考してましたorz
これで定数関数であることが言えるかな？

f(x)は連続なので、あるx[0], x[1]について、x[0]の近傍をfで写した関数値の集合でf(x[1])を元としてもたないような
小さい近傍の取り方が考えられるが、f(x)はまた幾らでも小さい（例えば近傍の幅より小さい）周期をもつので、
x[0]の任意の近傍の関数値の集合はf(x[1])を元としてもつ。

あと、後半はこんな感じでおｋ？

Tが周期なので、f(x + 2T) = f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x)、
またこの議論はTを-T, ±2T, ±3T, ...としても同様で、したがって任意の自然数nについてnTが周期である。
ここで、周期T'および実数dをnT < T' = nT + d < (n + 1)Tで定めると、f(x) = f(x + T') = f(x + nT + d) = f(x + d)より
dも周期であるが、これは0 < d < TよりTの最小性に反する。