幾らでも小さい周期が存在すると仮定する。
すると、ある周期T[0]についてそれより小さい周期が存在するのでそれをT[1]とおく。
次に、T[1]より小さい周期が存在するのでそれをT[2]とおく。
以下この議論を順次繰り返すと単調減少する数列{T[n]}nが得られる。
周期関数の性質よりf(x + kT[n]) = f(x) （k∈Z）だが、
n→+∞でT[n]→0より、任意のxについてf(x)は常に同じ値をとる。
これはf(x)が定数関数でないという設問の仮定に反する。

こんな感じの回答でどうでしょ？
なんか不安な上に他の周期が最小の周期の整数倍に限られるのもどう示すか見当付かないんだけど。