F1(p)の途中までなんですけど、積分したら
Fi(p)=1/2i[-e^{-(p-i)t}/(p-i)+e^{-(p+i)t}/(p+i)]0→π
まで合ってますか？
その後を計算しても答え通りにならないので、ここが間違ってるのかなぁと思うんですけど･･･。

答えは
F1(p)={1+e^(-πp)}/(p^(2)+1)
F(p)={1+e^(-πp)}/{1-e^(-πp)}*1/(p^(2)+1)

です。