>>185
なんとなく分かってきたような記述になってきたから解答例を書くよ。
微分可能な関数の集合U={f│f:R→Rかつfは微分可能}は、f,g∈U,λ∈Rに
対して、和とスカラー倍を
(f+g)(x)=f(x)+g(x),(λf)(x)=λf(x)
と定義する。 この和の定義が意味をもつことは既に示されている(>>165)。
この和が結合律を満たすことをしめす。
すなわち　ｆ、ｇ、ｈ∈Uを任意に取ったとき　
(f+g)+h＝f+(g+h)　がなりたつことを示す。
f+gが微分可能だから(f+g)+hも微分可能であることに注意する。右辺の微分可能性も土曜。
さて、x∈Rを任意元とするとき、和の定義により
((f+g)+h)(x)＝(f+g)(x)+h(x)＝f(x)+g(x)+h(x)　この右辺は実数の和であるからよく定義されている。
同様に(f+(g+h))(x)＝f(x)+(g+h)(x)＝f(x)+g(x)+h(x)
従って　((f+g)+h)(x)＝(f+(g+h))(x) が任意の実数に対して成立していることが分かった。
よって関数として　(f+g)+h＝f+(g+h) である。

なーんだと思っただろ。定義を満たすことを確認しているだけだからね。