>>164
ま、細かいことを言うと、limの線形性を使うんだけどな。
F=f+gとおくと
Fの微分係数の定義は
X=lim(F(x+h)-F(x))/h
ここでF(x+h)=(f+g)(x+h)=f(x+h)+g(x+h)、F(x)=f(x)+g(x)
よって　　　X=lim(f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x))/h
すなわち　X =lim(f(x+h)-f(x)+g(x+h)-g(x))/h
ここでlim(f(x+h)-f(x))/h+lim(g(x+h)-g(x))/h
が存在するから、Xは収束してf'(x)+g'(x)。すなわち、Fは微分可能。