問題４
(1)A^2=(a+d)A+(bc-ad)E　成分計算（ケイリーハミルトンの公式）
(2)
A^n=p(n)A+q(n)E
A^(n+1)=p(n+1)A+q(n+1)E=p(n)A^2+q(n)E={(a+d)p(n)+q(n)}A+(bc-ad)E
よって、
p(n+1)=(a+d)p(n) +q(n)
q(n+1)=(bc-ad)q(n)
(3)
p(n+1)=5p(n)-6p(n-1)
p(n+1)-2p(n)=3{p(n)-2p(n-1)}=3^(n-2){p(3)-2p(2)}=3^(n-2)(19-10)=3^n
p(n+1)-3p(n)=2{p(n)-3p(n-1)}=2^(n-2){p(3)-3p(2)}=2^(n-2)(19-15)=2^n
よって、
p(n+1)=3^(n+1)-2^(n+1)
p(n)=3^n - 2^n （n≧2)
q(n)=3･2^n-2･3^n

A^n=(3^n-2^n)A+(3･2^n-2・3^n)E=
(2^n　　　　　０）
(3^n-2^n　3^n)
n=1でも成立