>>678
> I≠φとする。
> （∩[i∈I]Ｘi)∪Ｙ＝∩[i∈I]（Ｘｉ∪Ｙ）　を証明せよ。
証明すべき等式の左辺（右辺）から元を取りそれが右辺（左辺）に属することを示す。

x∈∩[i∈I]（Ｘｉ∪Ｙ）ならIは空でないので任意のi∈Iに対してx∈Xi∪Yである。
ここもしx∈Yなら当然x∈（∩[i∈I]Ｘi)∪Ｙ。
また、x∈Yが成立していないならどのiに対してもx∈Xi∪Yであるのだからx∈Xiである。
すわち、x∈∩[i∈I]Ｘi。よってx∈（∩[i∈I]Ｘi)∪Ｙ。
以上から （∩[i∈I]Ｘi)∪Ｙ⊇∩[i∈I]（Ｘｉ∪Ｙ）

逆向きも同様。まねしてやってごらん。

以上から （∩[i∈I]Ｘi)∪Ｙ＝∩[i∈I]（Ｘｉ∪Ｙ）が示された。