行き止まりっぽいやり方だけど

f(x) = 納k=0,n](-x^2)^k
= (1-(-x^2)^(n-1))/(1+x^2) と置くと

求めるべき値は
納k=0,n]{(-1)^k}/(2k+1)
= ∫[0,1]f(t)dt
= (π/4) - ∫[0,1](-x^2)^(n-1)dx/(1+x^2)