素人なのですが、質問です。

任意の一変数関数F(x)を、F(0) = F(T)となるように線形補間した関数は、
F'(x) = ((T - x) * F(x) + x * F(x - T)) / T　となります。
x = 0のときは、F(0)。x = Tのときも、F(0)になります。したがってF(0) = F(T)になります。

x = T/2のときは、(F(T/2) + F(-T/2)) / 2　となるので、
F(x)がx = 0軸において対称性を持っていれば、-T/2 = T/2となり、x = T/2のとき完全にF'(x) = F(x)になります。

次に、任意の二変数関数G(x, y)を、同じようにG(0, y) = G(T, y)、G(x, 0) = G(x, T)となるように
線形補間した関数G'(x, y)を考えます。ところが、

G'(x, y) = F'(x) + F'(y)
G'(x, y) = ((T - x) * G(x, y) + x * G(x - T, y) + (T - y) * G(x, y) + x * G(x, y - T)) / T

これのどちらでもうまくいきません。
偏微分の知識が必要な気もするのですが、どうにもわかりません。
どなたかご教授お願いします。