>>12
楕円体を　(x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 ≦1 (a,b,c>0) とする。
(x/a)^2=X, (y/b)^2=Y, (z/c)^2=Z とおくと X+Y+Z ≦1
相加･相乗平均により
　(X+Y+Z)^3 -27XYZ = {(X+Y+7Z)/2}(X-Y)^2 + {(7X+Y+Z)/2}(Y-Z)^2 + {(X+7Y+Z)/2}(Z-X)^2 ≧0.
　XYZ ≦ (1/27)(X+Y+Z)^3.
　等号成立は (X,Y,Z)=(1/3, 1/3, 1/3) のとき。
内接する直方体の頂点を (±a√X0, ±b√Y0, ±c√Z0) とすると 体積は
V = 8abc√|X0Y0Z0| ≦ (8/3√3)abc = (2/π√3)Ve.
Ve は楕円体の体積。