長文失礼します。

有限個の元をもつ半群Gに積が定義されているとき、この半群は積に関
して閉じているとします。この半群が群であるための条件は、
(1)Gが単位元をもち、
(2)∀A,B∈G, ∃x,y∈G, xA=B, Ay=B
であると知りました。Gを乗積表に書くとき、(1)は初めの行や列と
同じ行や列が存在することとして、(2)は各行や各列に重複した元
が現れないこととして表現されるそうです。そこで質問ですが、
（1）は理解できるのですが、（2）は何故、乗積表のなかでそのよ
うに表現されるのか理解できません。説明していただけますか。

もう一点。参考書には上の二つの条件が挙げられていたものの、(1）
の条件は必要ないと思います。というのも、（2）が成り立つ、すなわ
ち逆演算可能であることと、Gが半群なので結合律を満足することを
あわせて考えれば、それだけでGは積に関して群をなす言えると思う
のです。したがって、その結果としてGは単位元を持つのであって、
Gが群であるための条件として単位元の存在を挙げる必要はないと
思います。間違っていたら正していただけると助かります。