こちらに引越しますね

再掲

「３で割って１余り、４で割って２余り、５で割って２余る自然数は存在するかどうか判定せよ」という問題の解答が「存在する」で、その理由が次のようになっています。

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自然数nを3, 4, 5 それぞれで割った余りの組を(p,q,r)とする。この(p,q,r)が何種類あるかを調べる。

２つの自然数 n, n'を3, 4, 5で割った余りの組をそれぞれ(p,q,r), (p',q',r')とすると

(p,q,r)＝(p',q',r')⇔　3|n-n' かつ　4|n-n' かつ　5|n-n'　⇔ 60|n-n'
が成り立つ。よって(p,q,r)は60種類あることがわかる。
ところが　0≦p≦2, 0≦q≦3, 0≦p≦4 より、考えられる(p,q,r)は高々60種類しかないので、すべての(p,q,r)が現れることがわかる。
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この証明では、nまたはn'を60で割ったときの余りが違えばそれに対応する(p,q,r)の組も
違うということを示す必要があるように思えますが、どうでしょうか。