【放物線y=x^2+2(m-1)x+3-m^2がx軸の正の部分と負の部分のそれぞれと交わるように、定数mの値の範囲を定めよ】

条件は
D＞0、下に凸なので頂点のy座標が負の数

y=x^2+2(m-1)x+3-m^2
=(x+1)^2-m^2+2m+2
だから頂点は(-1,-m^2+2m+2)
∴-m^2+2m+2＜0
m^2-2m-2＞0
解の公式を使ってm＜1-√3、1+√3＜0

こんなんで良いでしょうか？