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【sin】高校生のための数学の質問スレPART90【cos】

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0001132人目の素数さん2006/10/01(日) 20:09:09
夜、明日提出の宿題をやっているとき

(・∀・)やった!あと1問!
・・・・・・!!?
           (゚Д゚)ポカーン         (゚Д゚)ハァ?ナニコノモンダイ?
               ヽ(`Д´)ノウワァァン!!ワカンナイヨォ!!!
・・・てな時に、頼りになる質問スレッドだお(´・ω・`)

・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
  (× x+1/x+2 ;  ○((x+1)/(x+2)) )
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。 (トリップの付け方は 名前(N)に 俺!#oretrip ←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。
  (変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように)
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。それがない場合、放置されることがあります。
・980くらいになったら次スレを立ててください。
・荒らしはスルーでおながい

数学@2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/

前スレ
【sin】高校生のための数学の質問スレPART89【cos】
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1159229221/
過去ログ
http://makimo.to/cgi-bin/search/search.cgi?q=%8D%82%8DZ%90%B6%82%CC&andor=AND&sf=0&H=&view=table&D=math&shw=2000
0153132人目の素数さん2006/10/02(月) 15:28:48
>>152
問題用紙を溶かしてしまうと失格となってしまうので確率は0
0154132人目の素数さん2006/10/02(月) 15:34:56
ある大学の試験では、5題のうち4題解ければ合格である。3題のうち平均1題解けるA君が合格する確率は? でした。お願いします!
0155132人目の素数さん2006/10/02(月) 15:40:45
1題解いた場合、正解する確率が1/3だから、
5題正解 (1/3)^5
4題正解 5(1/3)^4(2/3)
3題正解 10(1/3)^3(2/3)^2
2題正解 10(1/3)^2(2/3)^3
1題正解 5(1/3)(2/3)^4
0題正解 (2/3)^5
0156132人目の素数さん2006/10/02(月) 15:55:01
ありがとうございます
0157132人目の素数さん2006/10/02(月) 16:43:15
>>79をホントお願いしますm(_ _)m
0158132人目の素数さん2006/10/02(月) 16:50:48
>>92
0159132番目の素数さん2006/10/02(月) 16:56:56
 y=(bx+1)/(x-a) (a>0 b>0)の定義域が{x|-a≦x≦0}
値域が{y|-1≦y≦1} であるとき、定数a,bの値を求めよ。

方針がつかめませんおねがいします。
(分数関数)
0160132人目の素数さん2006/10/02(月) 17:20:34
>>159
y=b+(ab+1)/(x-a)
(ab+1)>0だから定義域で単調減少
0161132番目の素数さん2006/10/02(月) 17:26:29
>>160 
ありがとうございました!!
0162132人目の素数さん2006/10/02(月) 17:48:36
1辺の長さが1である正四面体と底面を共有し、しかもこの正四面体の3つの側面に接する直円柱がある。
この直円柱の底面の半径をr、体積をVとするとき、rを用いてVを表せ。

上の問題で直円柱の高さの求め方が分かりません。どなたか教えて下さい。
0163132人目の素数さん2006/10/02(月) 17:49:55
>>128
遅くなりました。ありがとうございました!
0164132人目の素数さん2006/10/02(月) 17:53:01
絶対不等式ってなんですか?
0165132人目の素数さん2006/10/02(月) 18:31:05
>>164
恒等式の不等式版
0166132人目の素数さん2006/10/02(月) 18:31:23
>>162
底面に円が接する場合、中心は重心で、接点は底面の各辺の中点
高さhの円柱が側面に接する場合も、底面の円の中心は重心で、
接点は、頂点と底面の辺の中点を結んだ線上。

頂点と底面の辺の中点を結んだ線の長さ=正三角形の高さ=√3/2
重心から底面の中点までの距離=√3/6
円柱の高さをhとすると、
√(h^2+r^2) :r=√3/2:√3/6=3:1
0167132人目の素数さん2006/10/02(月) 18:32:46
>>162
接点を含む平面で切れ
大抵これで片付く
0168132人目の素数さん2006/10/02(月) 18:41:34
>>157
必ず存在し,n=0が条件をみたす
0169132人目の素数さん2006/10/02(月) 19:02:07
>>166,>>167
ありがとうございました!
0170132人目の素数さん2006/10/02(月) 19:03:11
8*a^3-8*a^2-70*a+66=0
これを満たすaの値が分かりません。どのように因数分解できますか?
0171KingOfUniverse ◆667la1PjK2 2006/10/02(月) 19:15:30
talk:>>170 a^3-4a^2-140a+528の因数分解でもしてみるか?これが整数係数整式の範囲で因数分解できないなら、もとの式も整数係数整式の範囲で因数分解できない。
0172132人目の素数さん2006/10/02(月) 19:17:28
>>171
因数分解できないのなら、どのようにaの値を求めればいいのですか?
0173KingOfUniverse ◆667la1PjK2 2006/10/02(月) 19:17:36
talk:>>171 計算機でチェックしてみたが、a^3-4a^2-140a+528は一次の因数があった。8*a^3-8*a^2-70*a+66も因数分解できる。
0174132人目の素数さん2006/10/02(月) 19:19:47
4*3^3-4*3^2-35*3+33=0
0175KingOfUniverse ◆667la1PjK2 2006/10/02(月) 19:20:20
talk:>>170,>>172 計算機でチェックしてみたが、8*a^3-8*a^2-70*a+66は一次式と二次式の積になった。とりあえず、528の約数全てを代入すれば計算機を使わなくても解ける。
0176132人目の素数さん2006/10/02(月) 19:21:46
100以上200以下の自然数の中で、次の条件をみたすものはいくつあるか。

(1)3でも5でも割り切れない数

答えが54個になってるんですがちっともわかりません・・・
0177132人目の素数さん2006/10/02(月) 19:21:57
kingも計算力落ちたよな
0178132人目の素数さん2006/10/02(月) 19:24:56
a2+b2=(a+b)2−2ab これって公式ですか?中学で習う?
最後の2以外の2は2乗ということです
0179KingOfUniverse ◆667la1PjK2 2006/10/02(月) 19:26:32
talk:>>170,>>172 528の約数を代入するのはa^3-4a^2-140a+528の方で、4a^3-4a^2-35a+33に代入するのは3^p*11^q/2^r(p=0,1,q=0,1,r=0,1,2)だな。
talk:>>176 包除原理を知っていればすぐにわかる。3の倍数の個数、5の倍数の個数、15の倍数の個数を調べてみよう。
talk:>>177 何やってんだよ?
0180KingOfUniverse ◆667la1PjK2 2006/10/02(月) 19:27:10
talk:>>170,>>172 528の約数を代入するのはa^3-4a^2-140a+528の方で、4a^3-4a^2-35a+33に代入するのは(-1)^s*3^p*11^q/2^r(p=0,1,q=0,1,r=0,1,2,s=0,1)だな。
01811702006/10/02(月) 19:33:30
皆さんありがとうございました(^^)
0182KingOfUniverse ◆667la1PjK2 2006/10/02(月) 19:34:57
talk:>>177 私はてっきり一次式三つの積に分解できるものと思い込んでいたのだよ。それであのレスになった。
0183132人目の素数さん2006/10/02(月) 19:42:13
この問題の解き方をよろしくお願いします。
2次関数
y=(x-a)^2(-1≦x≦1)
の最大値をM(a)とする。
このとき、次の不等式が任意の実数aに対して成り立つような実数mの中で、最小のものを求めよ。
M(a)≦m*端-1,1](x-a)^2 dx
0184132人目の素数さん2006/10/02(月) 19:43:58
>>179
3…33個
5…21個
15…7個

ですね。
1〜99を1〜200のものから引いて

ですが何故54に?
0185KingOfUniverse ◆667la1PjK2 2006/10/02(月) 19:48:30
talk:>>184 整数には、3で割り切れて5で割り切れないもの、5で割り切れて3で割り切れないもの、3で割り切れて5でも割り切れるもの、3で割り切れず、5でも割り切れないものの四種類がある。
0186132人目の素数さん2006/10/02(月) 19:49:49
kingが答えを書かないのは、計算ミスを極度に恐れているため
0187KingOfUniverse ◆667la1PjK2 2006/10/02(月) 19:50:27
talk:>>186 お前に何が分かるというのか?
0188132人目の素数さん2006/10/02(月) 19:50:31
>>185
そこまではわかるんですが…、3で割り切れず、5でも割り切れないものの出し方がわからないorz
0189132人目の素数さん2006/10/02(月) 19:51:29
>>187
お前、計算ミスして叩かれまくったこと覚えてないのかw
0190KingOfUniverse ◆667la1PjK2 2006/10/02(月) 19:56:49
talk:>>188 3で割り切れる整数は、3で割り切れて5で割り切れない整数と3で割り切れて5でも割り切れる整数の二種類があり、5で割り切れる整数には、5で割り切れて3で割り切れない整数と3で割り切れて5でも割り切れる整数の二種類がある。
talk:>>189 何やってんだよ?
0191132人目の素数さん2006/10/02(月) 20:02:36
>>190
何いってるのかわからないよー
0192KingOfUniverse ◆667la1PjK2 2006/10/02(月) 20:07:34
talk:>>191 そんなはずはない。
0193KingOfUniverse ◆667la1PjK2 2006/10/02(月) 20:08:40
talk:>>191 それでは3の倍数と5の倍数を実際に書いてみて、両方に含まれているものをどうすればいいか考えてみたらどうだ?
0194132人目の素数さん2006/10/02(月) 20:11:04
>>193
引けばいい?

36+21-7=50になる
0195KingOfUniverse ◆667la1PjK2 2006/10/02(月) 20:15:16
talk:>>194 36とはなんだ?
0196132人目の素数さん2006/10/02(月) 20:18:09
>>195
すいません
33+21-7=47
になった
0197132人目の素数さん2006/10/02(月) 20:49:09
クズスレ
0198132人目の素数さん2006/10/02(月) 20:50:04
>>197
195のようなクズがいるスレという意味なら納得。
0199132人目の素数さん2006/10/02(月) 21:01:08
>>197
菌愚が回答するようになったからという理由なら同意
0200132人目の素数さん2006/10/02(月) 21:03:55
>>183
直接打ったから計算ミスしてたらごめ
M(a) = MAX[y(-1),y(1)] = MAX[(1+a)^2,(1-a)^2]
∫[-1,1](x-a)^2 dx = (1/3){(1-a)^3 + (1+a)^3} = (2/3)(1+3a^2)

MAX[(1+a)^2,(1-a)^2] ≦ m(2/3)(1+3a^2)

(1+a)^2 ≦ m(2/3)(1+3a^2) かつ (1-a)^2 ≦ m(2/3)(1+3a^2)
これが任意のmについて成り立てばよい
02012002006/10/02(月) 21:04:44
最後の行
→これが任意のaについて成り立てばよい
0202132人目の素数さん2006/10/02(月) 22:00:35
>>200,>>201
ありがとうございます!
0203132人目の素数さん2006/10/02(月) 22:02:14
自然数nに対して、S[n]=3^n+2^n+5とおく。
S[n]が6の倍数であるための条件を求めよ。

お願いします。
0204132人目の素数さん2006/10/02(月) 22:06:04
三角形ABCの内接円が辺BC,CA,ABに接する点をP,Q,Rとする。このとき
AQ↑+AR↑+BP↑+BR↑+CP↑+CQ↑=0↑
が成り立つならば、三角形ABCが正三角形であることを示せ。
見当付きません。どこかの過去問らしいです。
お願いします。
0205132人目の素数さん2006/10/02(月) 22:45:28
S[n] = 3^n + 2^n + 5
2の倍数は確定事項
3の倍数になればいい。

S[n] = 3^n + 2^n + 5
≡ 2^n + 5 (mod:3)

n:奇数、偶数で調べる。
02062032006/10/02(月) 22:47:02
>>205
ありがとうございます。
modとはなんでしょうか。
2Bまでの知識でといてもらいたいのですが、それだと難しくなりますか?
0207132人目の素数さん2006/10/02(月) 22:49:05
>>206
「mod 数学」ぐらいでググれる程度の知恵はつけろよ
0208132人目の素数さん2006/10/02(月) 22:50:14
『3で割って2^n+5余る』に置き換えればいい
02092032006/10/02(月) 23:05:33
>>207
すみません。調べました。

>>208さんのとおり、
「S[n] = 3^n + 2^n + 5≡ 2^n + 5 (mod:3)」=「S[n] = 3^n + 2^n + 5を3で割った余りと2^n + 5を3で割った余りが同じ」
ということですよね。
これは分かったのですが、どうしてそうなるのかわかりません。
それと3^n + 2^n + 5は2の倍数は確定事項というのもわかりません。3^n+5が2の倍数であるってことだと思うのですが、
どうしてそうなりますか?
お願いします。
0210132人目の素数さん2006/10/02(月) 23:06:38
>>207
むやみに高校範囲外のことを使わないほうがいいのでは!?
余りで分類すれば同じことなんだし…
0211132人目の素数さん2006/10/02(月) 23:08:06
3^n + 2^n + 5
= 奇数 + 偶数 + 奇数
= 偶数
0212132人目の素数さん2006/10/02(月) 23:09:11
>>209
3^nはつねに奇数、2^nはつねに偶数、5は奇数
0213132人目の素数さん2006/10/02(月) 23:12:26
>>210
>>211
ありがとうございます。受験で原点されるのが嫌なのでできれば2Bの範囲外の知識は使いたくありませんが、
modの場合、modと書かずに「3^n + 2^n + 5を3で割った余りと2^n + 5を3で割った余りが同じ」と書けばいいみたいなので
それならいいです。
「3^n + 2^n + 5を3で割った余りと2^n + 5を3で割った余りが同じ」はどうして成り立つのでしょうか。
0214132人目の素数さん2006/10/02(月) 23:12:45
3の倍数 + α
が3の倍数であるための条件は?
0215132人目の素数さん2006/10/02(月) 23:15:13
αが3の倍数であればよい。。。
ありがとうございました。
0216出題者2006/10/02(月) 23:35:18
出題者として、これからいくつか問題を出していきますから、解いてください。

中学生でも解ける問題です。

『問1』

まず、下の図を見てください。

http://photos.yahoo.co.jp/ph/nen_kingkong/vwp?.dir=/811c&.src=ph&.dnm=d8de.jpg&.view=t&.done=http%3a//photos.yahoo.co.jp/ph/nen_kingkong/lst%3f%26.dir=/811c%26.src=ph%26.view=t

図のように、・横    3 
      ・高さ(縦)5
      ・奥行き  6
の直方体があります。この直方体のA点からB点までの最短距離を求めて下さい。
 
但し、最短距離は、内部を通らず、この直方体の表面を通って下さい。

答えは数値のみでよいです。(解き方、解答方法はまだ提示しない下さい。)

では、皆様!お願い致します。
0217132人目の素数さん2006/10/02(月) 23:35:52
>>216
首吊って死ね
0218132人目の素数さん2006/10/02(月) 23:37:09
>>216
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/161
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1159797214/1
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1159623315/192
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1159088715/888
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1157400000/959
0219132人目の素数さん2006/10/02(月) 23:38:30
さっきのものなんですが、入試でmodを解答用紙に書いて減点されることはないのでしょうか。
すれ違いですか?
ここに塾講師、予備校講師の方がいらっしゃればうれしいのですが。
0220132人目の素数さん2006/10/02(月) 23:40:01
数列{a_n}がa1=5/4,1/a_n+1−1/a_n=n/5+1/2を満たすときのa_nを求めよ。
わかりません。お願いします。
0221菅_理人@kmath1107BBS ◆.ffFfff1uU 2006/10/02(月) 23:40:27
>>219
modの定義とか簡単な性質とか書いて理解していることを示した上で使うようにしたほうが安全かもしれない。

一応高校の範囲外の記号だから。
0222132人目の素数さん2006/10/02(月) 23:41:31
>>220
書き直せ。わからん。
0223132人目の素数さん2006/10/02(月) 23:46:09
>>203
自然数に0を含ませてもあまり結論は変わらない問題が多いが、これは違うらしい。面白い

自然数には0は含まれないとする。
n≧1なので3^n、5が奇数。よって3^n+5は偶数。2^nも偶数なのでS(n)は偶数である。
よって、S(n)が6の倍数 ⇔ S(n)が3の倍数。
n≧1なので3^nは3の倍数。よってS(n)が3の倍数⇔2^n+5が3の倍数⇔2^n - 1が3の倍数(5=3・2-1なので)。
ここで2項展開により 2^n=(3-1)^n=3M+(-1)^nの形をしているから
      3M (nが偶数のとき)
2^n-1={
      3M-2(nが奇数のとき)

以上からS(n)が6の倍数である条件はnが偶数であること、である。

蛇足 S(0)=7で6の倍数にならない。
 

0224132人目の素数さん2006/10/02(月) 23:48:37
点Aの座標がA(-1,2),
点Pの座標がP((-2+15)/2,(15-4*15+4)/2)
のとき、曲線y=2*x^2と線分APで囲まれた図形の面積を求めたいのですが、
APの式を求めて普通に積分する以外に、何か簡単な求め方はありますか?
0225132人目の素数さん2006/10/02(月) 23:49:58
>>224
敢えて聞くが
そういう問題か?
0226132人目の素数さん2006/10/02(月) 23:51:52
>>219
解答から合同式の基本性質がきちんと理解できた上で使っていると読み取れれば
減点はされない

それが伝わるか自信がなければ>>221が良い
0227132人目の素数さん2006/10/02(月) 23:52:53
>>225
問題は違いますが、最終的に求めたいのが上に書いた面積です。
0228出題者2006/10/02(月) 23:57:37
出題者として、これからいくつか問題を出していきますから、解いてください。

中学生でも解ける問題です。

『問1』

まず、下の図を見てください。

http://photos.yahoo.co.jp/ph/nen_kingkong/vwp?.dir=/811c&.src=ph&.dnm=d8de.jpg&.view=t&.done=http%3a//photos.yahoo.co.jp/ph/nen_kingkong/lst%3f%26.dir=/811c%26.src=ph%26.view=t

図のように、・横    3 
      ・高さ(縦)5
      ・奥行き  6
の直方体があります。この直方体のA点からB点までの最短距離を求めて下さい。
 
但し、最短距離は、内部を通らず、この直方体の表面を通って下さい。

答えは数値のみでよいです。(解き方、解答方法はまだ提示しない下さい。)

では、皆様!お願い致します。
0229132人目の素数さん2006/10/02(月) 23:58:54
>>228
>>216
0230132人目の素数さん2006/10/02(月) 23:58:59
>>227
・・・・
S=∫[x:α,β]-2*(x-α)(x-β) dx
= ∫[x:α,β](x-α)^2 dx
= (1/3)*(β-α)^3
= (1/3)*((-2+√15)/2 + 1)^3
= (1/3)*(√15/2)^3
= (5/8)√15
0231132人目の素数さん2006/10/02(月) 23:59:13
>>228
ん、どうした?目が真っ赤だぞ
0232132人目の素数さん2006/10/03(火) 00:00:48
数列{a_n}がa1=5/4,1/a_n+1−1/a_n=n/5+1/2を満たすとき,a_n=10/n^2+4n+3が成り立つ。
という問題なんですが、答えが出せなくて…あと階差数列の問題です。
0233132人目の素数さん2006/10/03(火) 00:01:34
二つの整数 a, b を自然数 n で割った余りが等しいとき、a ≡ b (mod n) と表す。

って断ればいいってことですね。
すっきりしました。
ありがとうございました。
0234132人目の素数さん2006/10/03(火) 00:03:22
>>232
・式が意味不明
・何が問題なのかが分からない
0235132人目の素数さん2006/10/03(火) 00:04:23
>>232
とりあえず>>1を読んできな。
0236132人目の素数さん2006/10/03(火) 00:05:28
>>232
帰納法でええんちゃうん??
0237132人目の素数さん2006/10/03(火) 00:08:10
>>232
数列{a(n)}が a(1) = 5/4 , 1/a(n+1) - 1/a(n) = n/5 + 1/2を満たすとき
a(n) = 10/(n^2 + 4n + 3) が成り立つ。

か?
0238132人目の素数さん2006/10/03(火) 00:12:51
237さん,その通りです。
0239KingOfUniverse ◆667la1PjK2 2006/10/03(火) 00:15:55
talk:>>198-199 お前に何が分かるというのか?
0240132人目の素数さん2006/10/03(火) 00:16:00
・何が問題なのかが分からない

の通りだが?

a(n) = 10/(n^2 + 4n + 3) なんだから
1/a(n) = (n^2 + 4n + 3)/10
1/a(n+1) - 1/a(n) = ((n+1)^2 + 4(n+1) + 3)/10 - (n^2 + 4n + 3)/10
= n/5 + 1/10 + 4/10
= n/5 + 1/2
0241132人目の素数さん2006/10/03(火) 00:16:13
>>230
どうもありがとうございました(^_^)
0242132人目の素数さん2006/10/03(火) 00:22:43
240さん,a(n) = 10/(n^2 + 4n + 3)の答えの導き方がわからないんです。
0243132人目の素数さん2006/10/03(火) 00:24:54
それだったら問題は

数列{a(n)}が a(1) = 5/4 , 1/a(n+1) - 1/a(n) = n/5 + 1/2を満たすとき

だろ?

b(n) = 1/a(n)として考えたら?
0244訂正2006/10/03(火) 00:25:27
それだったら問題は

数列{a(n)}が a(1) = 5/4 , 1/a(n+1) - 1/a(n) = n/5 + 1/2を満たすとき
a(n)を求めよ。
だろ?

b(n) = 1/a(n)として考えたら?
0245132人目の素数さん2006/10/03(火) 00:29:15
b(n) = 1/a(n)と考えるのはわかるんですが,b(n) の答えが出ないんです。
0246132人目の素数さん2006/10/03(火) 00:29:45
正四面体の各頂点からおのおのの面に垂線を降ろすとき、おのおの垂線4本はそれぞれが3:1に内分される点で交わるというものは公理ですか?

降ろした面の重心と降ろした垂線が面と交わる点が一致することを示してから、上記のものが前提で模範解答かかれているですが・・・
平面図形の三角形の重心が中線を2:1に内分するのは有名ですが、上記のものは聞いたことがありません。
0247132人目の素数さん2006/10/03(火) 00:31:00
>>246
位置ベクトルの矢線を省略して
g=(a+b+c+d)/4
からほぼ自明
0248132人目の素数さん2006/10/03(火) 00:35:07
>>245
なすて??
b(n) - b(1) = 納k:1,n-1](k/5 + 1/2)
= (1/5)*n*(n-1)/2 + (n-1)/2
= (1/10)*(n^2-n + 5n-5)
= (1/10)*(n^2 + 4n - 5)
b(n) = (1/10)*(n^2 + 4n - 5) + b(1)
= (1/10)*(n^2 + 4n - 5) + 4/5
= (1/10)*(n^2 + 4n - 5 + 8)
= (1/10)*(n^2 + 4n + 3)

でるで。
0249132人目の素数さん2006/10/03(火) 00:35:36
ところがお願いします全部かいてください
0250132人目の素数さん2006/10/03(火) 00:40:37
>>247
自明なんですか。ありがとうございました。
0251132人目の素数さん2006/10/03(火) 00:46:55
248さん,すいません,計算間違いしてました。
そこからa(n)はどうやって出すんですか?
0252132人目の素数さん2006/10/03(火) 00:47:47
b(n) = 1/a(n)

a(n) = 1/b(n) = 10/(n^2 + 4n + 3)
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