前>>1000
α = p+q√3　(p,qは有理数)とあらわせたと仮定する。
α^3 - 3α - 1 = 0より
(p+q√3)^3 - 3(p+q√3) - 1 = 0
∴p^3 + 9pq^2 - 3p - 1 = 3√3 q(p^2 + q^2 - 1)　…①
1)q(p^2 + q^2 - 1) ≠ 0 のとき
両辺を3q(p^2 + q^2 - 1)で割ると
右辺が有理数(有理数は4則演算について閉じている)
左辺が√3で無理数だから矛盾
以下めんどくさいから概略書くと
2)q=0のときα=pで、p=m/nとでもおいて方程式を満たさないことを示す
3)p^2 + q^2 - 1=0のとき、p=m/nとでもおいて①からqを消去した等式をみたさないことを示す

以上よりαはp+q√3　(p,qは有理数)とあらわせない。