以前gのwell-definednessで突っ込んだせいで微妙に混乱をしているようなのでちょっとコメントを。

まず、gを定義するのにfが単射である必要はない。
g:Y→Xを、y∈f(X)ならばy=f(x)となるxが[少なくとも1つ]存在するのでこのxに対してg(y)=xとおく。
そうでないyに対しては、w∈Xを任意に１つ選びg(y)=wとおく。
Yの任意の元に対してXの元をちょうど1つ対応させているので写像g:Y→Xが定義された。

実質的に単射を使うのは後半部分。
x∈Xを任意にとって固定し、gf(x)=g(f(x))=wであるとする。
f(x)∈f(X)であるから、上のgの定義よりy=f(x)とおくとf(w)=y。
[単射を仮定せずにgを定義しているので、この時点ではg(y)=xとは限らない。]
よってf(x)=f(w)であるが、fが単射なのでx=w、すなわちgf(x)=x。
xは任意のXの元でよいのでgf=id_Xである。

くどいといえばくどいが、単射という条件の使い方が明確になってるはずだ。

さて問題。
逆は成り立つか？