質問してから気付いたのですが、もしかして、
Ｓ=∫xdy=-∫ydx=1/2（∫ｘｄｙ　-　∫ｙｄｘ ）か？
なら分かります。
そして、教科書のすぐ下にあるように、
ベクトルの外積の1/2で三角形の面積ということですかね。