お願いします。やり方を考えてみたのですが計算したら答えが合いません。
考え方間違ってるかどうか、添削お願いします。

問
赤球２個白球６個の入っている袋と赤球３個白球９個入っている袋から
それぞれ２個づつの球を同時に取り出す時赤球が合計３個になる確率を求めよ。

前者の袋から赤球２個取り出す：A1
後者の袋から赤球１個取り出す：B1
前者の袋から赤球１個取り出す：A2
後者の袋から赤球２個取り出す：B2
赤球が合計3個になる：C

P（C）=P(A1∩B1)∪P(A2∩B2)
A1とB1は独立な事象だから×
A1∩B1とA2∩B2は互いに背反な事象だから＋

どうでしょうか？教えてください