「基本変形を施しても行列のランクは不変である」ことに関して質問させてください．

たとえば具体的に，行列
A=[[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]]
のランクはr(A)=2として，行列Aの小行列Bに対して，その行列式は
|B|=|[[a,b],[d,e]]|≠0
であるとします．行列Aに対して行に関する基本変形を施し，
A'=[[a,b,c],[d+kg,e+kh,f+ki],[g,h,i]]
を得たとき（k≠0，kはスカラー），
|B'|=|[[a,b],[d+kg,e+kh]]|≠0
は本当に常に成り立つのでしょうか．もしくはA'の別の2次小行列の行列式の値が非ゼロであること保証されるのでしょうか．いずれにせよ理由を教えてください．

確かに|A|=|A'|(=0)ですが，かといって|B|≠0のとき常に|B'|≠0であるとは限らないと思うのですが．というのも，
|B'|=(ae-bd)+k(ah-bg)
に関して思いつくことは，「ae-bd≠0, k≠0, abdeの中で0であるのは多くても1つ, (c,f,i)=(0,0,0)であれば(g,h)≠(0,0)でもかまわない」くらいですが，これらを満たしながら|B'|=0になるようなgとhの値がある気がするのです．