複素解析の問題です。だれかお願いします。
ちなみに自分の解き方と、先生のノートを参考にしてここまで考えました。
どこかに間違いがないか訂正してくれるとうれしいです。

a>eのとき、az^n=e^zは|z|=1の中にn個の解があることを証明せよ。

Roucheの定理を使うと思うんだが、
f(z)=az^n, g(z)=-e^zとして、
|g(z)| <= |f(z)|を証明できれば、あとは
Roucheの定理を使って、
問題の式=f(z)+g(z)はf(z)と同じ数の零があると証明できる。

だけど、先生は
|g(z)|=|e^z|=|e^(r(cosθ+isinθ)|と書いて、
φ=r*sinθとすると、
|e^z|=|e^(r*cosθ(cosφ+isinφ))|=|e^(r*cosθ)|となり、
これは|e|以下だから|f(z)|以下であり、QEDと書いたわけだけど、

特にここの部分がよくわかりません。↓

φ=r*sinθとすると、
|e^z|=|e^(r*cosθ(cosφ+isinφ))|=|e^(r*cosθ)|となり、

だれか解説お願いします