>>408
a = √(gr) とおくお（´・ω・｀）
√(g/r) = a/r

(v-(a/r)) / (v+(a/r)) = - exp(-2at)
(rv - a)/(rv +a) = - exp(-2at)
1 - { 2a/(rv+a)} = - exp(-2at)
{ 2a/(rv+a)} = 1 + exp(-2at)
(rv + a)/(2a) = 1/{ 1 + exp(-2at)}
rv + a = 2a/{ 1 + exp(-2at)}
rv = a { 1 - exp(-2at)}/{ 1 + exp(-2at)}
v = (a/r) { exp(at) - exp(-at)}/{ exp(at) + exp(-at)} = (a/r) tanh(at)

(v-(a/r)) / (v+(a/r)) = + exp(-2at)　の方は
exp(-2at)の符号が変わるので

v = (a/r) { exp(at) + exp(-at)}/{ exp(at) - exp(-at)} = (a/r) coth(at)
となるお（´・ω・｀）