ただ、もうちょっと言葉を補う必要は感じる。

S(x,y) の最大値が√２より大きいとする。
すると、1/x ＞ √2 , 1/y ＞ √2 , x + y ＞ √2 をすべて満たさねばならない。
しかしこのときx ＜ 1/√2 , y ＜ 1/√2 より
x + y ＜ 2（1/√2）＝√2 となって x + y ＞ √2 の仮定に矛盾する。
よってS(x,y) ≦ √2 となる。
一方 x = y = 1/√2 とすると S(x,y) = √2 となる．
以上より S(x,y) の最大値は √2 である．

ぐらい書いてもいいかも。