今お母さんの目を盗んでます。どうしても書きたくて。
アレから頭の中で進めたら理解できたかもしれません。あくまでコーシー定義のものですが。

xに値を与えるとyが出現する。xがなければyは出現しない。
だからyはxに関わる数なわけです。それをコーシーは関数だと言った。
y以外のものが出てきても、もちろんそれはxの関数なわけです。出てくるかは知りませんが。
そう考えるとxによって出てきたyは普通の変数yとはまるで違うものですね。出てきたものに単にyと名づけたに過ぎない。

ちなみにプログラムではxがなくてもyが出現することも一応ありますし、そこは違うと思いますが、
もしかして数学における関数でもxがないケースもあるのですかね。

それと定義域とはxの変域ですね。変域とは値として受け取る事が可能な域ですね。
そして値域とはyの変域。ただこれはxの変域に左右されるのですね。

＞数学で関数とかいうのは、定義域(という集合)から値域(という集合)への対応関係を記したものに過ぎない
これの意味がちょっと理解できた気がします。つまりオイラーやディリクレっぽい考え方ですよね。定義域から値域への対応規則そのものが関数であると。まあオイラーは数式そのものだと言い、ディリクレは数式自体は重要視してなかったようですが。

うわぁあああ。
一次関数や二次関数の意味までわかった！！！！
単なる定義済みの関数なんですね！

これでようやく寝れそうです＾＾