圏論 / カテゴリー論 / Category Theory 3
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0001１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 07:21:12圏論 / カテゴリー論 / Category Theory 2
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1089645233/
なんで圏論なんてもんがあんのよ？
http://makimo.to/2ch/science3_math/1057/1057731708.html
■関連スレ
大好き★代数幾何 Part 3
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1119870806/
非古典論理について語るスレ
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1071060325/
■関連過去スレ
層
http://makimo.to/2ch/science2_math/1003/1003853278.html
シット サイト トポス シャン モチーフ
http://makimo.to/2ch/science_math/1007/1007625226.html
0083１３２人目の素数さん
2007/02/05(月) 11:10:210084１３２人目の素数さん
2007/02/05(月) 18:14:28どのexact triple に使えば
良いのでしょう(*_*)
0085１３２人目の素数さん
2007/02/05(月) 18:48:25最近アブストラクトナンセンスの方がナンセンスであることに気づいたよ
0086１３２人目の素数さん
2007/02/06(火) 11:25:32アブストラクトナンセンスという言葉はけなし言葉ではなく
ほめ言葉として使われる
と書いてあるもんね
0087１３２人目の素数さん
2007/02/06(火) 11:34:50カテゴリーをやる動機付けにはなると思うけどね
ホモロジーってのは結局どういう対象なのか？ を突き詰めるとカテゴリー論になるわけで
それを知らずにカテゴリー論を勉強しても、
理屈は分かったとしても意味が分からず全然面白くないんじゃなかろうか
008881
2007/02/06(火) 14:06:00スマソ
解決しますた
008988
2007/02/06(火) 14:11:27(;_;)
0090１３２人目の素数さん
2007/02/09(金) 22:26:590091１３２人目の素数さん
2007/02/10(土) 17:20:250092１３２人目の素数さん
2007/02/11(日) 18:23:31http://en.wikipedia.org/wiki/William_Lawvere
への評価はどんなもんでしょうか。
当方理系ではありましたが、数学を専攻してはいないので、
皆さんの議論がよく分かってはいないのですが（汗
Conceptual Mathematicsでのものの考え方がおもしろい
というのをどこかで聞いたので、やってまいりました。
プロフィールを読むと哲学にも関係しているようですね。
0093１３２人目の素数さん
2007/02/11(日) 23:47:01個人的にはlawvereの宣伝活動しだいで今後の圏論の広まり方が決まる
ぐらいの重要人物だと（勝手に）思ってますが・・・
0094１３２人目の素数さん
2007/02/12(月) 06:53:04何か根っからのマルクス主義者らしいね。
それなりに有名人物なんじゃないの？
そうでもないんですか。
009592
2007/02/12(月) 08:10:20紆余曲折というか波瀾万丈な感じですが、見た目は
http://andrej.com/mathematicians/L/Lawvere_William.html
温和そうな小太りおじいちゃんですｗ。
>>94さんにご紹介いただいた本は手に入れて読みたい
と思います。森毅は好きですしね。
暴論で結構なのですが、数学のご専門のかた、
Conceptual Mathematicsの主要な議論を
短くまとめると、どんなもんなんでしょうか。
0096１３２人目の素数さん
2007/02/12(月) 12:59:17議論つーかConceptual Mathematicsていうのは
圏論の基礎概念をずぶの素人にも分かるように
ものすごく噛み砕いて説明してるだけの本なので、
新しい哲学的なアイデアの提出みたいなものは全く無い。（と認識してますが・・・
ちなみにこういう人たちがいて、現在進行形で読んでるみたい・・・
http://www.sampou.org/cgi-bin/haskell.cgi?CategoryTheory%3a%b7%f7%cf%c0%ca%d9%b6%af%b2%f1
0097１３２人目の素数さん
2007/02/14(水) 08:09:14レスありがとうございます。なるほどなるほど。
本がすでにあるのに、本を説明してくれなんていう
のは、本当にひどい話ですが、おつきあいくださって
どうもありがとうございました。
というわけで、専門的な議論のあいまに、
ほんの時々で結構ですので、圏論の魅力なんかを
語っていただけると、とても嬉しいです。
また覗かせてもらいます。
0098１３２人目の素数さん
2007/02/14(水) 16:10:290099１３２人目の素数さん
2007/02/20(火) 20:01:21圏論の基本的な考え方が関数一元論だとしたら
・λ抽象となにが違うのでしょうか？
・ヒルベルトの公理的方法（点や線でなく机や椅子でも同じ）と
関係があるでしょうか？
0100１３２人目の素数さん
2007/02/20(火) 22:21:08基礎論と同じでどうも好きになれん…
0101１３２人目の素数さん
2007/02/20(火) 23:01:04> ホモロジーってのは結局どういう対象なのか？ を突き詰めるとカテゴリー論になる
homology = derived categoryと限定するならともかく、それには頷けんなあ。
0102１３２人目の素数さん
2007/02/20(火) 23:04:48functor
0103１３２人目の素数さん
2007/02/20(火) 23:36:15そもそも集合ナシで考えるということ
0104１３２人目の素数さん
2007/02/21(水) 01:25:020105１３２人目の素数さん
2007/02/21(水) 23:41:100106１３２人目の素数さん
2007/02/22(木) 19:20:31圏論において可換性はなぜ基本的なのでしょうか
Conceptual Mathematicsは、このような初心者の
愚問にも答えてくれているのでしょうか
0107１３２人目の素数さん
2007/02/22(木) 20:06:130108１３２人目の素数さん
2007/02/22(木) 20:52:10どういう意味をもっているのですか
0109１３２人目の素数さん
2007/02/22(木) 21:20:110110108
2007/02/22(木) 21:56:09だいたい∩だいたい∧とも言うのかもしれませんが、
でも直積の場合は、菱形の下三角形の方が無いでしょう？
0111１３２人目の素数さん
2007/02/22(木) 22:05:08で?
0112１３２人目の素数さん
2007/02/22(木) 22:07:140113108
2007/02/22(木) 22:40:14直和が現れるからそれと直積とを対で理解しろと
いうこと？
0114１３２人目の素数さん
2007/02/22(木) 23:15:490115１３２人目の素数さん
2007/02/23(金) 04:10:59無いんじゃなくて、終対象があると考えるんだ
0116108
2007/02/23(金) 06:52:23ベクターバンドルよりもっと簡単な例はないでしょうか？
0117１３２人目の素数さん
2007/02/23(金) 08:29:140118１３２人目の素数さん
2007/02/23(金) 18:42:08何になるのかとか考えてみればいいじゃないか
ちょっとくらい自分で考えてみないと身にはつかんよ
0119１３２人目の素数さん
2007/02/23(金) 23:43:49んじゃ、自明なベクターバンドル
0120１３２人目の素数さん
2007/02/23(金) 23:49:36是非教えてください。
0121１３２人目の素数さん
2007/02/23(金) 23:56:440122１３２人目の素数さん
2007/02/24(土) 00:31:09クラスの定義がはっきりしないので圏の定義もはっきりしない。
従って圏同型自体はっきりしない概念だから。
0123１３２人目の素数さん
2007/02/24(土) 00:32:26剣道地だとなんではっきりするのれすか？
0124１３２人目の素数さん
2007/02/24(土) 00:33:40クラスの定義がはっきりしないので圏の定義もはっきりしない。
従って圏同型自体はっきりしない概念だから。
0125１３２人目の素数さん
2007/02/24(土) 00:35:460126１３２人目の素数さん
2007/02/25(日) 20:58:070127１３２人目の素数さん
2007/02/25(日) 21:31:37とりあえず、剣道地と剣道系の定義とその違いを教えれ
0128124
2007/02/26(月) 19:42:57続き
しかし圏同値は、定義がはっきりしなくとも、誰にでも通じる概念だから
0129１３２人目の素数さん
2007/02/26(月) 20:03:00集合の定義もはっきりしないのか？
0130１３２人目の素数さん
2007/02/26(月) 22:41:390131１３２人目の素数さん
2007/03/01(木) 03:20:25射だけで飯を食っていかなければなりません。…「コホモロジーのこころ」
具体的対象ぬきで数学をやる。すごい世界だ…。
0132１３２人目の素数さん
2007/03/02(金) 20:48:40俺を俺と呼ぶ俺がいて…。
0133１３２人目の素数さん
2007/03/03(土) 02:10:07やっていくうちに射も具体的対象に思えてくる。
っていうか、数学の対象っていうのはいかに具体的でも抽象的だろ。
数の１、２、３、．．．だって抽象的だ。
だから圏がいかに抽象的といってもたいして変わらない。
整数全体の集合だって圏だしな。
関係 1 ＜ 2 は射だ。
0134１３２人目の素数さん
2007/03/04(日) 22:25:53いわば、慣れだよね。
具体的な対象といった場合、その対象にどれだけ慣れ親しんでいるかによっても、
「具体性」の度合いは、違ってくると思う。
0135１３２人目の素数さん
2007/03/04(日) 22:48:010136１３２人目の素数さん
2007/03/05(月) 15:59:160137１３２人目の素数さん
2007/03/05(月) 16:24:380138１３２人目の素数さん
2007/03/05(月) 16:32:460139１３２人目の素数さん
2007/03/05(月) 17:28:14ところで、Categoryってなんで圏って訳すの？
Yahoo Categoryはヤフー圏？野球拳？
0140１３２人目の素数さん
2007/03/05(月) 23:52:590141１３２人目の素数さん
2007/03/06(火) 00:00:27まあ範疇ってのもイマイチだけど。
そもそも漢字で書けない人が多そうだｗ
0142１３２人目の素数さん
2007/03/06(火) 00:17:46なんとなくものの集まりで、ただ集まってるだけじゃなくて、
なんとなく関係しあってる感じで、・・・
むしろ英語のCategoryの方が関係しあってる感じがしないので
原語よりましとすら思う・・
0143１３２人目の素数さん
2007/03/06(火) 00:47:43つけたらしいからね
0144１３２人目の素数さん
2007/03/06(火) 01:23:28日本の数学者はそういうの嫌いなんだろうねえ、
0145１３２人目の素数さん
2007/03/06(火) 02:16:420146１３２人目の素数さん
2007/03/06(火) 04:23:56「〜星の降る夜は」
「〜俺の肩をを抱きしめてくれぇ」
0147１３２人目の素数さん
2007/03/08(木) 16:57:44誰かたすけてください
圏B、Cを次のように定義
Arrow(B)はBの射の集合とする(恒等射は省略)
B={1,2,3}、C={2,4}
Arrow(B)={1→2,2→3,3→1}
Arrow(C)={2→4,4→2}
函手Tの対象関数の集合{1,2,3}→{2,4}
この時、個々の対象関数の対応は適当にきめてよい？
例えば適当に1→2、2→4、3→4
函手Tの射関数の集合{1→2,2→3,3→1}→{2→4,4→2}
既に対象関数で対応を決めてるのに
射関数って何を決めてる？
もしかしてBって、Cと函手Tで全部かってに決まる？
0148１３２人目の素数さん
2007/03/08(木) 17:14:560149１３２人目の素数さん
2007/03/08(木) 17:21:280150１３２人目の素数さん
2007/03/08(木) 17:26:400151１３２人目の素数さん
2007/03/08(木) 17:43:16B={1,2,3}
Arrow(B)={1→2、2→3、3→1}の時
Tの対象集合
1→2、2→4、3→4
Tの射の集合
上のように対象集合を決めると
Arrow(B)を上のルールで置き換えて
T(1→2)=2→4
T(2→3)=4→4
T(3→1)=4→2
こうすると合成は成り立つか実験
T(1→2、2→3)=T(1→2)T(2→3)は
T(1→2、2→3)=T(1→3)=？？
T(1→2)=2→4
T(2→3)=4→4
合成で閉じてないってのは
？？みたいなのが出来たらダメってことでしょうか
B={1→2、2→3、1→3}なら出来るのかな
もういっかいそれでやりなおしてみます
0152１３２人目の素数さん
2007/03/08(木) 17:50:16Arrow(B)={1→2、2→3、1→3}の時
Tの対象集合(勝手に決めた)
1→2、2→4、3→4
Tの射の集合は、上のように対象集合を決めると
Arrow(B)を上のルールで置き換えて
T(1→2)=2→4
T(2→3)=4→4
T(1→3)=2→4
こうすると合成は成り立つか実験
T(1→2、2→3)=T(1→2)T(2→3)は
左辺：T(1→2、2→3)=T(1→3)=2→4
T(1→2)=2→4、T(2→3)=4→4なので
右辺：T(1→2)T(2→3)=(2→4)(4→4)=2→4
よって合成も成り立つ
とりあえず、出来た・・のか？
恒等射のチェックもやってみます
0153１３２人目の素数さん
2007/03/08(木) 18:01:17とりあえず出来たっぽいです
圏って好き勝手に射があっても良いのかと思ってました
Arrow(B)={1→1、2→2、3→3、1→2、2→3、1→3}の時
Tの射の集合に次を追加
T(1→1)=2→2
T(2→2)=4→4
T(3→3)=4→4
この時、T(1c)=1(Tc)について
c=1の時
左辺:T(1→1)=2→2
右辺:1(T(1))=1(2)=2→2
よって成り立つ
0154１３２人目の素数さん
2007/03/08(木) 19:44:34函手の自然な具体例を挙げてみな。
0155１３２人目の素数さん
2007/03/08(木) 20:31:21高等関手
0156１３２人目の素数さん
2007/03/08(木) 20:43:05今、函手で出来そうだと思っているイメージ(Cを圏とします)
Cの各対象を定数倍や階乗、べきなどの組み合わせで置き換える函手
Cの各対象cが集合だったらcをその要素で置き換える函手(和集合)
Cの各対象cを対<c,c>で置き換える函手
テキストは｢圏論の基礎」なんですが
これには単純な例としてべき集合函手がのってました
0157１３２人目の素数さん
2007/03/08(木) 20:55:26深い意味はない。
人工的でないっていうこと(>>152は人工的だわな)。
要するに具体例をあげてみな。
教科書に頼らず。
0158１３２人目の素数さん
2007/03/08(木) 21:08:29Obj(C)をCの対象、A(C)をAの射として
Cを次のように定義
Obj(C)={月、火、水、木、金、土、日}
A(C)={月→火、火→水、...、土→日}
函手Tを次のように定義
Tの対象 A(C)→{平日、土日}
具体的には
月→平日、火→平日、...、金→平日
土→土日、日→土日
Tの射
T(月→火)=平日→平日
T(火→水)=平日→平日
..
T(金→土)=平日→土日
T(土→日)=土日→土日
0159１３２人目の素数さん
2007/03/08(木) 21:11:29T(月→火、火→水)=T(月→水)=あ、定義できないorz
T(月→火)T(火→水)=平日→平日、平日→平日=平日→平日
0160１３２人目の素数さん
2007/03/08(木) 21:14:42恒等射
A(C)に{月→月、火→火、...、日→日}も追加して
T(1月)=1(T月)について
左辺:T(月→月)=平日→平日
右辺:1(T月)=1(平日)=平日→平日
こっちは成り立ってる
結局、「合成が閉じている」がわかってないのか
0161１３２人目の素数さん
2007/03/08(木) 21:24:53あんたは圏論をやるには早過ぎる。
圏論をやるには数学の基礎（大学の２、３年次程度）が必要っていうか、
基礎が身についてないのにやってもあまり意味ない。
0162１３２人目の素数さん
2007/03/08(木) 21:38:450163１３２人目の素数さん
2007/03/08(木) 21:42:47良薬は口に苦し。
悪く思うな。
0164１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 02:12:507圏をちゃんと圏にするためには、対象を{0,1,2,3,4,5,6}とみて
n=<mのときn→mが唯一あるとすればよい。この例は圏論の基礎1章2節のまんなかあたり
に載っている。
0165１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 16:31:22言語学でも圏論を使うようになっちゃったから、
数学の学生でない限り無理に>>161の助言に従うことはないよ
0166１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 17:14:230167１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 17:21:220168１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 19:49:48無責任なこと言うなよｗ
0169１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 19:52:14いやまあ数学の基礎がないと圏論学ぶ意味がどうこう、ってより、
圏論に出会う時点でまだ数学の基礎を勉強したことがないってのは
数学の学生としてはどうよ、と思っただけですわ
まあしかし>>158はそれ以前のもっと基礎的なところくらいは
先にやっててほしい気もする
>>150のようなことを言ってもらう必要があるってレベルでは
さすがに圏論の勉強自体がきついかもしれん
0170１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 19:57:56計算機科学で圏論を使うのは大いに結構。
しかし、ここは数学板だ。
計算機科学の板じゃないんで。
それにしても圏と関手の具体的例を知らないで圏論をやろうというのは、
なんていうか、女を生れてこのかた見たことがない男（野生で育ったとか）がセックスの
やり方を学ぶようなもんだろｗ
0171１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 20:00:38先生、生まれてこの方彼女と言うものができたことの無い
三十路の俺はどうやってセックスのやり方を学べばよいのですか？
0172１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 20:07:10別に学ぶ必要はない。
セックスは義務ではない。
0173１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 20:08:15king、なんでコテはずしてるの？
0174１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 20:13:42集合や群程度の非常に基礎的な例だけ知った時点で
圏論始めちゃうのもいいかもしれんね
0175１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 20:19:26ダメだね。よっぽどの秀才、天才以外は。
その天才でも古典に学ぶことは多い。
固体発生は系統発生を繰り返すというのは生物だけではなく数学にも当てはまる。
0176１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 20:36:19集合の圏や群の圏のような全体的な機構を
どれだけ調べられるかと言うと
疑問は残りそうだよね。
0177１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 20:36:22はあ？
0178１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 20:38:30他の代数や位相を勉強する前にZornの補題とか勉強しても
その意義なんて良くわからんだろうし。
0179１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 20:38:42googleれよ
0180１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 20:42:05だから数学を学ぶための基礎的なツールとしての基礎の集合論と
公理的集合論とは違うってことかもね
だったら数学を学ぶための基礎的なツールとしての基礎の圏論が
あってもいい気がするよってことなんだけど
0181１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 20:44:52位相の前にやることがあるだろ。
微積とか線形代数とか。
0182１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 20:50:08学ぶにも当然順序がある。
確かに論理的には集合論から始めてもおかしくはない。
Bourbakiのように。
そのBourbakiも大学２、３年次レベルの数学的知識を持っているものを
読者として想定している。
数学は論理じゃないんだよ。
これを誤解してるやつは多い。
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