圏論 / カテゴリー論 / Category Theory 3
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0001１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 07:21:12圏論 / カテゴリー論 / Category Theory 2
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1089645233/
なんで圏論なんてもんがあんのよ？
http://makimo.to/2ch/science3_math/1057/1057731708.html
■関連スレ
大好き★代数幾何 Part 3
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1119870806/
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http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1071060325/
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http://makimo.to/2ch/science2_math/1003/1003853278.html
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http://makimo.to/2ch/science_math/1007/1007625226.html
0809１３２人目の素数さん
2009/03/15(日) 01:50:55どう凄いのか３行で説明してくれ
0810１３２人目の素数さん
2009/03/15(日) 03:20:53ηは埋め込み、μは例えば列の列は列みたいなもので、二回やるとどうか
ってのは射影のベキ等性みたいに非自明な性質。
0811１３２人目の素数さん
2009/03/15(日) 07:46:16Grothendieckがやったようなことを高次元圏論で最初っから構成するって感じなのかね
0812808
2009/03/15(日) 13:33:00ありがとうございます。なるほど、μは、例えば他にy=bみたいな定数関数とかもそう言う訳ですね。すっきり。
ただ、ηについてはどういう事か補足して頂けないでしょうか。
埋込みというのが、部分に同型な奴はその部分自体と見なしてしまう事らしいとは調べたのですが、それが
η : 1_{C} → T とどう繋がるのか理解出来ませんでした。
0813１３２人目の素数さん
2009/03/15(日) 17:34:030814１３２人目の素数さん
2009/03/15(日) 23:36:38surgery.matrix.jp/math/2008stg/slides/minami_slides.pdf
0815１３２人目の素数さん
2009/03/16(月) 00:40:14まだよくわからない。。
グロタンティクが可換環論を使って代数幾何学を再構築したのにならって、
可換環論よりももっと一般的な対象を使って、新しい代数幾何学を
再々構築する、ということ？
より応用範囲の広いものが出来そうだというのはわかるけれど、
そうすることで（単なる一般化を超えて）どう有難いのかわからないんだけど。。。
説明してくれない？
0816１３２人目の素数さん
2009/03/17(火) 04:52:02を見るにTFTへの応用をlurieは考えてるのかね
TFT殆ど知らないから事情が分からんが…
0817１３２人目の素数さん
2009/03/17(火) 10:17:180818１３２人目の素数さん
2009/03/17(火) 12:23:10TQFT topological quantum field theory
別に違いは無かったよね
0819１３２人目の素数さん
2009/03/22(日) 16:37:30http://en.wikipedia.org/wiki/Topological_quantum_field_theory
にAtiyahによるTQFTの定義が書いてあ
0820１３２人目の素数さん
2009/04/11(土) 22:55:43TFTも圏論も物理も書いてある
誰か読んでくれ
0821１３２人目の素数さん
2009/04/12(日) 01:07:080822１３２人目の素数さん
2009/04/16(木) 15:50:22何がどれくらいのレベルで無駄なのですか？
0823１３２人目の素数さん
2009/04/16(木) 18:05:310824１３２人目の素数さん
2009/04/16(木) 20:08:29学部でやる集合と写像の授業でも、
全射の事を、上への写像って言うぞ。
0825１３２人目の素数さん
2009/04/16(木) 20:31:44分かりにくいセンス悪い邦訳だと思う＾＾
0826１３２人目の素数さん
2009/04/16(木) 20:43:200827１３２人目の素数さん
2009/04/16(木) 20:46:28ontoの訳が上への
しかし、ontoはともかくsurjectiveは直訳なのか？
0828１３２人目の素数さん
2009/04/16(木) 20:48:04という流儀も当然のことながらある。
0829１３２人目の素数さん
2009/04/17(金) 04:43:170830１３２人目の素数さん
2009/04/17(金) 15:17:16もっと現実的なモデルを目指せ。
つまりはそういうことなんだよ。
0831１３２人目の素数さん
2009/05/30(土) 03:52:360832１３２人目の素数さん
2009/06/18(木) 22:34:40重要ですよ。
0833１３２人目の素数さん
2009/06/19(金) 01:28:52kwsk
kwsk
kwsk
0834833
2009/06/19(金) 04:41:31アホな事聞いてスレ汚しｽﾏｿ
0835猫ぱんだ ◆ghclfYsc82
2009/06/19(金) 05:45:580836１３２人目の素数さん
2009/07/03(金) 23:54:220837１３２人目の素数さん
2009/07/05(日) 08:58:13自然変換と関手の区別がついてないと言うよくあるパターンかな。
0838sage
2009/07/18(土) 18:05:41F ------> FGF
という表記は、どういう事を表しているでしょうか。
（Fは圏Dから圏Cへの関手、Gは圏Cから圏Dへの関手、ηは自然変換(D上の射相当)です）
FおよびFGFは、DからCへの関手だと思いますが、
Fηはなんであり、FからFGFの間にそれがあるというのはどういう事でしょうか？
0839１３２人目の素数さん
2009/07/18(土) 18:25:59functor category
0840１３２人目の素数さん
2009/07/18(土) 18:55:18？？
0841１３２人目の素数さん
2009/07/19(日) 02:04:38普通に考えると以下の意味。
ηは恒等関手1からGFへの自然変換。
このとき、F(η_X):FX -> FGFXは
FからFGFへの自然変換になる。
0842１３２人目の素数さん
2009/07/20(月) 01:21:42環全体の集合、とかほんとうに存在するんですか？
0843１３２人目の素数さん
2009/07/20(月) 02:44:580844１３２人目の素数さん
2009/07/21(火) 00:04:390845１３２人目の素数さん
2009/07/30(木) 07:51:19そもそも現代集合論（ＺＦＣ集合論）では、
集合論のパラドックスは発生しないんだけど。
0846１３２人目の素数さん
2009/08/13(木) 18:04:53究極の形態ですよね。
この宇宙のあらゆる現象が圏論に還元される。
そして圏論の上にZFC集合論が展開され、
その上でさまざまな数理モデルが扱われるんですから。
最近ウィトゲンシュタインの包含写像についての考察が、
実は前層に対応していることを理解しましたよ。
0847１３２人目の素数さん
2009/08/13(木) 19:37:45とかいう論文を書くときは大抵その「集合論」は排中律
やら選択公理やら置換公理やらが無かったり
分出公理をboundedな奴に制限してたりするんですけどね
0848１３２人目の素数さん
2009/08/15(土) 18:22:22トポスで排中律ってどういうことなんだ
0849１３２人目の素数さん
2009/08/15(土) 21:22:03集合論のほうの排中律
0850１３２人目の素数さん
2009/08/15(土) 23:58:34> いやトポスのほうじゃなくて
> 集合論のほうの排中律
横レスだが
つか正確な言い方をすれば、通常の意味での集合論は
古典論理に基づいてるが、その古典論理での排中律だ
>>847も横から補足しとくと
圏論つかトポスで展開される集合論は、そのトポスに
余計な条件を要請しない限り（つまりBoolean toposでない限り）は
直観主義論理に基づく集合論、つまり直観主義的集合論なんだよ
その辺の事は竹内の『直観主義的集合論』や『層・圏・トポス』にあるし
もっとちゃんと分かりやすく解説してるのはGoldbratt "Topoi"あたり
0851１３２人目の素数さん
2009/08/16(日) 23:44:55圏論が注目されているのってどうして？
量子計算量とかの話も入るのかな？
http://categorieslogicphysics.wikidot.com/
0852１３２人目の素数さん
2009/08/17(月) 01:58:10正直、俺は物理屋じゃなくて理論計算機科学屋なんで物理で圏論を使ってどんな御利益があるのか知らない。
ただ、リンクされてるCategories, Logic and Physicsのワークショップ（リンク先のページ以外も見ると何回か行われてる）で
講演者に名前が出てるSamson AbramskyとかPaul Taylorは理論計算機科学屋で昔から圏論とか使ってセマンティクスの仕事してたんだけど
Abramskyなんかは最近は量子計算のセマンティックスとかを圏論を使ってやってるみたい。
あとそこに講演者の中で俺が名前を知ってる数少ない理論物理屋のIshamは確か量子重力とかの専門だったと思うけど
量子重力とか超弦理論とかの方面は圏論ガチガチな人も一杯いるみたいよ。
圏論なんて所詮は言語に過ぎないんで、圏で記述する対象が豊かな構造や内容を持っていて、それが別の分野の構造と実は同じだったとか
対応物があると分かった、なんて事があれば非常に有効だし、そういう対応を見出すのにも有効だけど、単に圏で書きましたってだけでは
大した意味はないと思うんだよね。究極の抽象化ができて自己満足としてはいいんだろうけど、それだけでは本質的に何も新しい内容は
出てこないじゃない。
普通の数学で圏があれほど有効だった（最初はabstract nonsenseとか非難されたけど）のは、数学の世界では内容も構造も豊かで
あっちで見つかってた定理は実は圏で抽象化して読み直すとこっちの世界でも使えるとかいう話が、圏を用いて記述を抽象化する事で
色々と出たからでしょう。
理論計算機科学なんかじゃそういう豊かな構造はなかなか見つからないんだよね。昔から多くの研究者が探してはいるんだけどさ。
そういう状況で圏論を用いても、結局、非常に抽象的つか一般的な形で構造やモデルが満たすべき条件を特徴づける、というのが精一杯って感じだなあ。
物理の場合はどうなんだろうね。まあ超弦理論とか量子重力とかはとってもソフィスティケートされて複雑な数学的道具立てを必要とするみたいだから
圏論で抽象的に記述して考えると便利なのかも知れない。ことに具体的なモデルの構築を切り離してそういう構造を持つモデルの一般的な条件という形で
考えられるしね。
0853１３２人目の素数さん
2009/08/26(水) 23:15:54量子重力が専門なのに名前を知ってる理由はたまたまですか
0854１３２人目の素数さん
2009/08/27(木) 02:49:04これはたまたまです。
Ishamの名前と量子重力が専門という事を知ったのはSmolynの『迷走する物理学』か『量子重力への３つの道』あたりです。
その後、書店の物理学書のコーナーを見てたら、吉岡から出てるIshamの『量子力学』があったのでパラパラと見たら
なんとなく面白そうだと思って買うだけは買ったのですが積ん読状態になってます。
当然ながらIshamの専門の仕事をちゃんとテクニカルなレベルで理解なんてできるはずもありません。
0855１３２人目の素数さん
2009/08/31(月) 14:21:120856１３２人目の素数さん
2009/09/06(日) 19:39:300857１３２人目の素数さん
2009/09/06(日) 19:46:15Proofs and Typesの著者だね
0858１３２人目の素数さん
2009/09/06(日) 22:56:470859１３２人目の素数さん
2009/09/07(月) 02:23:410860１３２人目の素数さん
2009/09/07(月) 02:48:400861１３２人目の素数さん
2009/10/15(木) 00:43:39Introduction to Higher-Order Categorical Logic
(Cambridge Studies in Advanced Mathematics) (ペーパーバック)
J. Lambek (著), P. J. Scott (著)
タイトルとか目次を見る限りじゃこれとか？
Lambek & Scott はそっちの人には結構有名な文献。
その他に
http://categorical.org/bookshop.html
このページに載ってる本探せばどれかには載ってるはず。
というか「圏論による論理学」の参考文献に当たりゃ良いじゃん。
＞このあたりについての清水さんの論文とか
そんなもんありゃしない
http://ci.nii.ac.jp/search?q=%E6%B8%85%E6%B0%B4%E7%BE%A9%E5%A4%AB&range=0&count=20&sortorder=1
日本の哲学系の教授でそういう数学っぽいこと出来る人って
片手で数えられるくらいしか居ないんじゃないかな。
米国だと結構居るだろうけど。
0862１３２人目の素数さん
2010/01/17(日) 19:39:240863１３２人目の素数さん
2010/03/10(水) 05:54:320864１３２人目の素数さん
2010/03/27(土) 03:25:03「図式が可換」っていうのは、ある対象と対象の間を結ぶ射の経路をどう取っても
等しいっていう意味だよね？
あと、射についてf=gならh○f=h○gっていうのは常に成り立つの？
0865１３２人目の素数さん
2010/03/27(土) 08:30:04下も成り立つ（等号と代入の性質による）
0866１３２人目の素数さん
2010/03/27(土) 12:10:14そうですよね、レスありがとうございます。
関数型言語haskellを学んでいるうちに圏論を一度やっておいた方がいいかもと思って
手を出したはいいものの、馴染みの薄い言葉が多くて参ってました。
ttp://db.ewi.utwente.nl/Publications/PaperStore/db-utwente-0000003696.pdf
haskellやっている人向けに圏論とモナドを解説したpdfがあったので読んでいたのですが、
出てくる証明で使われている等式よりも自分で可換図式をつなげていく方が簡単に理解できました。
とりあえずMonad<T,η,μ>からKleisli triple<T,μ,*>を導くことができました。
あとは逆を導いて二つが等価になることを示した後、Mogi89の論文でも読もうかと思います。
まあ、haskellを使うときにモナドを理解する必要は無い、というのが今の段階での結論ですが。
0867１３２人目の素数さん
2010/03/27(土) 12:22:31うん，普通のユーザが理解する必要は特にないよ．
システム作る場合，その手の知識があったほうがすっきりしたものを作れる可能性があるくらい．
0868１３２人目の素数さん
2010/04/15(木) 00:58:460869１３２人目の素数さん
2010/04/15(木) 00:59:400870１３２人目の素数さん
2010/04/15(木) 01:56:400871近刊
2010/06/19(土) 19:43:44SGCライブラリ75
「物理学者のための圏論」
・ホモロジー代数、導来圏、三角圏、A∞圏、米田の埋め込み定理など
0872訂正と追記
2010/06/20(日) 20:45:26SGCライブラリ75
「物理のための圏論」
梶浦 宏成 著
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