圏論 / カテゴリー論 / Category Theory 3
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0001１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 07:21:12圏論 / カテゴリー論 / Category Theory 2
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1089645233/
なんで圏論なんてもんがあんのよ？
http://makimo.to/2ch/science3_math/1057/1057731708.html
■関連スレ
大好き★代数幾何 Part 3
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1119870806/
非古典論理について語るスレ
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1071060325/
■関連過去スレ
層
http://makimo.to/2ch/science2_math/1003/1003853278.html
シット サイト トポス シャン モチーフ
http://makimo.to/2ch/science_math/1007/1007625226.html
0237１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 00:43:20順序集合が圏になるっていうことを理解してないな。
0238１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 00:45:42時と場合によるだろ。
0239１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 00:52:42少数派らしいな。少なくとも、今ここにカキコしてる中では。
0240１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 01:00:540241１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 01:06:08圏論では当たり前という言葉は禁句に近い。
言われてみれば当たり前の概念（即ち圏と関手）の発見がつい５、６０年ほど前のこと
なんだから。
0242１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 02:55:57結合律の成り立つ射の追加の仕方といっても一通りではない
たとえば1だけの圏にaという射を追加するときにa*a=aという追加の仕方とa*a=1という追加の仕方がある。
で、この場合どっちが自然な拡張だとか言っても意味が無い。
0243１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 02:59:59preorderになるグラフって言うのはそもそも射の合成の仕方がひとつしか
入らないわけで、それを自然に拡張したら任意の圏になるって言われても意味不明。
0244１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 03:01:40多分一意的にならない。
0245１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 04:01:26圏からこの条件を外すと圏よりもっと一般的な概念が
得られるわけです。そういう方面の研究ありますか？
0246１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 09:14:02あんたの考えが狭すぎる。
別にいいんだよ自然でも自然でなくても。
圏をpreoderの一般化と見ることにより見えてくるものがあればいい。
そんな見方不要というならそれでもいい。
それで、別に食うには困らないし死にはしない。
0247１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 09:30:20246のように考えるなら「こんな考え方もあるんだよ」と一回言うだけで十分で
別に延々と議論しなくても誰も困らんし死にはしないな
0248１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 12:03:52圏の圏、合成が定義された有向グラフの圏、2項関係つき集合の圏
に忠実充満に埋め込める。
>>245 例えば結合性を少し緩めたA_∞圏。
合成が定義された有向グラフの一般論は知らない。
考えられる問題は
圏の圏から合成が定義された有向グラフの圏への函手の随伴函手があるかどうか
合成が定義された有向グラフで圏とは違う良い例の構成
対象が一つの場合だと
モノイドの圏からマグマの圏への函手の随伴函手があるかどうか
マグマでモノイドとは違う良い例の構成
0249１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 12:25:010250１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 12:53:29ドキュンは往々にしてどうでもいい細かいことに拘る。
0251１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 12:57:240252１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 12:58:10軽視するのもドキュン。
要するに、物事のウェイト付けが根本でずれている。
0253１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 12:59:40なことはない。
0254１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 13:10:46http://d.hatena.ne.jp/keyword/%A5%C9%A5%AD%A5%E5%A5%F3
大工や水商売で圏論についてあーでもないこーでもない考えてる奴って想像が付かないんだが・・・ｗ
因数分解の遥かまえ、分数の足し算の前後でドロップアウトするのが平均的なドキュンじゃないかな
0255１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 13:10:50とか聞いてくるDQNは学会とかでよく見るな
0256１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 14:08:410257１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 14:41:21奇妙な妄想レスはもういいから新学期の準備でもしろ
0258１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 15:59:310260１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 18:38:09> たとえば、12-->36 のイコライザは12でよいのでしょうか？
それで合ってるよ。
整除関係みたいに順序集合を圏とみなした場合は、射の一意性が自明だから
あまりリッチな構造を持ってないともいえる。
具体例を作ってみるのに一番手っ取り早いのはたぶん集合の圏。
0261１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 18:38:210262１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 22:07:01言葉遣いの問題だけじゃない気がする。
認識の差の問題。
まあ掲示板でのコミュニケーションっていうのはこういうのばっかり。
経験や性格、知能がバラバラなのに意思疎通を取ろうっていうのだから。
むしろ、この程度でも疎通が出来てるのが不思議。
0263１３２人目の素数さん
2007/04/01(日) 10:25:25どんなのがありますか？
0264１３２人目の素数さん
2007/04/01(日) 11:20:29学部１、２年で習うような簡単な例はないというか、少なくとも俺は知らない。
代数トポロジーとか代数幾何ならある。
0265１３２人目の素数さん
2007/04/01(日) 11:36:080266１３２人目の素数さん
2007/04/01(日) 11:53:130267１３２人目の素数さん
2007/04/01(日) 12:17:21そんなものなの？
それではコンピュータサイエンスで使われているのはなぜ？
集合論の場合でも、中学高校生にもそれなりにわかる効果が
言えたけどな
0268１３２人目の素数さん
2007/04/01(日) 12:37:11圏論は形式化指向なんで、具体性が欲しいなら遠回りせにゃ無理だろ。
集合論は素朴集合論の根拠・理屈付けというかなり具体的なもんだから
それと並べてもいかんよ。
0269１３２人目の素数さん
2007/04/01(日) 12:37:36>それではコンピュータサイエンスで使われているのはなぜ？
コンピュータサイエンスは数学じゃない。
だからそれに使われたからって、学部１、２年で習うような数学に
効果的に使われる簡単な例があるとは限らない。
>集合論の場合でも、中学高校生にもそれなりにわかる効果が
>言えたけどな
それなりにわかることと、効果的に使えることは別。
0270１３２人目の素数さん
2007/04/01(日) 12:55:51集合論だって形式化指向でしょ。
>それなりにわかることと、効果的に使えることは別。
そもそも集合論は｢効果的に使う｣ようなものではないよね。
0271１３２人目の素数さん
2007/04/01(日) 13:09:27素朴集合論を肯定的に記述する公理的な道具の構成という
至極具体的で限定的なモチベーションに基づく形式化と
圏論みたいにアブストラクトナンセンスと揶揄されるような
ほとんど限定的でない形式化とを同等のものと思い込んで
並べてもなにもうれしくはないという話をしてるわけだが。
0272１３２人目の素数さん
2007/04/01(日) 13:10:36圏論的に見たほうがわかりやすいかもしれんね。
0273１３２人目の素数さん
2007/04/01(日) 13:17:35どうやるの？
0274１３２人目の素数さん
2007/04/01(日) 14:11:34集合だって一種の圏だからね。効力絶大だよ。
0275１３２人目の素数さん
2007/04/01(日) 14:35:20使い道があったりするわけだけれどもそのくらいのレベルでの圏論の使い道ってのは
やっぱないのかね
0276１３２人目の素数さん
2007/04/01(日) 14:40:380277１３２人目の素数さん
2007/04/01(日) 15:02:06良く巧く中高生を騙せたもんだな。
0278１３２人目の素数さん
2007/04/01(日) 15:42:18それは集合の効力であって、圏の効力ではないでしょ
>集合論の場合はベン図使って個数の処理するみたいな
圏論を有向グラフとして使うのがちょうどそのレベルの使い道ではないかな？
>そもそも集合論は中高生には役立たんよ。
その調子でいえば大学生にとっても同じでは？
やっぱ標準言語としての役割があるのではないの
だけど圏論の使い道を聞いてもよい答えが返ってこないのはどうしてかな？
単なる言語としての使い道でもよいのだが
0279１３２人目の素数さん
2007/04/01(日) 15:53:25それは集合の効力であって圏の効力ではないよね
>集合論の場合はベン図使って個数の処理するみたいな具体的でけっこう初等的な
有向グラフとしての圏がちょうどそのレベルの使い道に当たるのでは？
>そもそも集合論は中高生には役立たんよ。
そんなことを言ったら大学生だって同じ。
標準言語としての使い道は明らかにあるでしょ。
ところが圏の場合はその言語としての使い道もどうだかよくわからん。
使い道を聞いてもいつもよい答は返ってこない。どういうことかな？
0280１３２人目の素数さん
2007/04/01(日) 16:22:11>だけど圏論の使い道を聞いてもよい答えが返ってこないのはどうしてかな？
だから学部１、２年で習うような簡単な例はないか、あるとしても効果的ではない。
使ってもいいが、学生が混乱するだろう。
圏論が出現したのは２０世紀も半ば。
数学がそこまで成熟して初めて圏論の必要性が認識された。
0281１３２人目の素数さん
2007/04/01(日) 16:25:09集合論に。
0282１３２人目の素数さん
2007/04/01(日) 16:49:04Conceptual Mathematicsていう本はそういうレベルの
有限な圏の例がものすごいたくさん出てくる。
ただ、まだ訳されてない。
0283１３２人目の素数さん
2007/04/01(日) 17:04:39例えばどんな例？
0284１３２人目の素数さん
2007/04/01(日) 17:06:53函手の自然変換として捉えられる。
自然な同型と自然でない同型の違いは
線型代数を学ぶ時少し分かりにくい所で、
圏論的理解が有効な所だと思う。
0285１３２人目の素数さん
2007/04/01(日) 17:28:55それを理解させるのに圏論を１から教えると、ますますわかりにくくなる恐れがある。
要するに、数学の初歩で圏論を教えるのは無理があるのだよ。
0286１３２人目の素数さん
2007/04/01(日) 17:36:01ということになるんだろうけど、一般論を理解するには自明な例や
自明ではないが簡単な例などを十分積み重ねなければ存分な
理解は得られないよ。
と俺は研究室に居たときボスに何回か言われた。
中高生や大学初年度級の学生に圏論をっていうのは
それと同じことだと思うんだよ。
0287１３２人目の素数さん
2007/04/01(日) 17:42:35有限な圏というか、各要素が有限に構成できる圏って感じだった。（ぜんぜん違うがｗ
まあ、自分で嫁
0288１３２人目の素数さん
2007/04/01(日) 18:51:05>Conceptual Mathematicsていう本はそういうレベルの
>有限な圏の例がものすごいたくさん出てくる。
そういう本であることを期待していたがだいぶはずれた。
結局、写像、有向グラフ、状態遷移図の例とエクササイズがほとんどで、
圏固有の概念や、なぜ圏か、がわかるようなものではなかった。
>要するに、数学の初歩で圏論を教えるのは無理があるのだよ。
やっぱりこうかとも思うが、よくわかった書き手がいない、あるいは、
裸の王様なのかとも思う。
0289１３２人目の素数さん
2007/04/01(日) 19:10:08なんで、数学の初期段階で圏論にこだわるんだよ。
他にやることは一杯あるだろ。
何回も言うように初期段階で圏論やっても圏論の有り難味が分からない。
ほんとに必要になったらやればいい。
0290１３２人目の素数さん
2007/04/01(日) 20:57:24>ほんとに必要になったらやればいい。
まあそうかもしれんが、必要になる前に目星はつけておきたい
という気持ちもわかるよね。
相対論だって必要になることなんてないけど分かろうとするよね。
もちろん圏論は相対論ほどのものではないだろうが。
0291１３２人目の素数さん
2007/04/01(日) 21:06:570292１３２人目の素数さん
2007/04/01(日) 21:10:02そんなの個人の自由に決まってる。
やりたければなんでもやればいい。
ただし、虻蜂取らずのリスクはある。
しかし、高校や大学の初年度のカリキュラムに入れろとかとなると
話は全然別ってことだ。
0293１３２人目の素数さん
2007/04/02(月) 00:10:17抽象的すぎて（定理とかは証明できたとしても）その意味までは理解できなくなる。
最も、圏論自体は面白い学問ではあるけどね。
ただ、面白すぎて抜け出せなくなる可能性もあるが・・・
0294１３２人目の素数さん
2007/04/02(月) 00:27:12http://www.lustgal.com/?id=full-degradation.com
0295１３２人目の素数さん
2007/04/02(月) 00:30:41http://www.lustgal.com/?id=full-degradation.com
0296１３２人目の素数さん
2007/04/02(月) 10:12:17〜〜〜オワ〜〜〜
0297１３２人目の素数さん
2007/04/02(月) 10:28:29名前： １３２人目の素数さん
E-mail：
内容：
http://science6.2ch.net/test/bbs.cgi
★ アクセス規制中でも書ける板たち ★
0298１３２人目の素数さん
2007/04/02(月) 13:25:44＞>集合だって一種の圏だからね。効力絶大だよ。
＞それは集合の効力であって、圏の効力ではないでしょ
その見方は大いに間違っていると言わざるを得ない。
むしろ、集合に効力があるのはそれ自体が圏だからだよ。
数学において代数系や位相空間が有用なのは知ってるよね？
それは、代数系や位相空間も圏であるからに他ならない。
0299１３２人目の素数さん
2007/04/02(月) 13:37:160300３００
2007/04/02(月) 14:03:520301１３２人目の素数さん
2007/04/02(月) 17:06:12圏論はいらんのではないか。そういう意味では具体例を考える場合には
コホモロジーみたいなものより具体的な例というのは与えることは無理なんじゃないのか
0302１３２人目の素数さん
2007/04/02(月) 17:19:550303１３２人目の素数さん
2007/04/02(月) 19:53:18>>298みたいなことは圏論によって実解析や関数解析を基礎付けてから
初めて言えることだと思うけど。
0304１３２人目の素数さん
2007/04/02(月) 20:52:260305１３２人目の素数さん
2007/04/02(月) 20:56:31圏論の言語によって集合論の理論を解釈することが出来る、というわけじゃないでしょ。
0306１３２人目の素数さん
2007/04/02(月) 21:15:34＞トポスと呼ばれる特別な種類の圏は、数学基礎論としての公理的集合論に取って代わることすら可能である。
0307１３２人目の素数さん
2007/04/02(月) 21:27:03だとしたら実数などに関する集合論的な興味を持つ人にとっては
代替可能ということにはならないと思うんだけど。
0308１３２人目の素数さん
2007/04/02(月) 21:31:21巨大基数公理を付け加えればZFC内でも解釈できる。
またZFC集合論での超数学での理論と解釈することも出来る、
とか書いてあったけど。
0309１３２人目の素数さん
2007/04/02(月) 22:44:48とりあえず死ね
0310１３２人目の素数さん
2007/04/02(月) 23:22:00お前のほうが死んだほうが良いと思うよ
0311１３２人目の素数さん
2007/04/03(火) 00:02:23集合論で圏論が解釈できることと
圏論で集合論が解釈できるかどうかということは全く関係ない。
で、実際は、
完全に圏論の言語のみで集合論を構成することが可能であり、
たとえば、その具体的なやり方のヒントが、圏論の基礎（S.マクレーン）の付録に載っている。
それによれば、
トポスであり、
１）ウェルポインティッド
２）選択公理
３）自然数対象をもつ
という条件を満たす圏Eを定義すると、それが集合の圏と同じものになるらしい。
が、自分では確認していないので、まあ参考にでも・・・
その本にはさらに元になったLawvereの論文へのreferenceも載ってるので調べたければ、
好きなだけたどれると思う
0312１３２人目の素数さん
2007/04/03(火) 02:16:53categorical set theoryの章をざっと眺めてみたら
ZFCはトポス理論の言語で解釈できるみたいな事が40頁くらい使って説明してあった。
言語の表現力は（人間に使いやすいかとかどのくらい具体的な感じがするかとかは置いといて）
似たようなものみたいだから、後はどういう公理を要請するかが問題になるんだけどね。
＞関係ない
そりゃ当たり前でしょうに。
単に圏論の言語の表現力の強さ≦集合論の言語の表現力の強さだよと言いたかっただけ。
0313１３２人目の素数さん
2007/04/03(火) 12:43:570314１３２人目の素数さん
2007/04/03(火) 13:27:24ttp://d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20070122/1169425937
このブログでは計算機科学の立場から圏論を論じた記事が読める。
0315１３２人目の素数さん
2007/04/03(火) 20:45:34集合の圏じゃなくて一つの集合そのものが圏なんだよ。
だから集合の圏は、圏の圏という2-圏の例というわけ。
0316１３２人目の素数さん
2007/04/04(水) 10:10:07圏を使えばより効果的、効率的に数学を表現できると言える。
0317１３２人目の素数さん
2007/04/04(水) 10:48:00（細部の細かい議論ではない部分で）十分な助けとなるのは確かで、
同様に、集合論やそれに基づく解析や代数といった各種数学に対する
理解が、その圏論的な捉え方への一助となるのは確かにあること。
圏論はobjectが具体的にelementを持たないような場合でも
確かに扱えるが、そのような抽象性は、解析や代数などの具体的な圏に
実際に肌を触れてみなければ、息吹くことは無いだろうと思う。
少なくとも概念の獲得は演繹と帰納の両面をうまく合わせることで
行われるものであるので、圏論によって集合論やその上に構成される
集合論的な数学を基礎付けられるからと言って、はじめからその
圏論の言葉だけで何もかもを語られておれば全て丸く収まるという
ものだとまではいえない。
0318１３２人目の素数さん
2007/04/04(水) 11:13:41オブジェクト指向に似たところがあるように思う。どんな
プログラムも手続き型言語で記述することは可能にしても、
オブジェクト指向言語を用いれば規模の大きいプログラム
も比較的容易に効率よく作ることができる。これは例えば
代数幾何においてグロタンディークが圏論的手法を用いた
が故に、膨大な結果の得られたことに比較し得るであろう。
0319１３２人目の素数さん
2007/04/04(水) 22:54:270320１３２人目の素数さん
2007/04/04(水) 23:31:41圏論に限ったことではないんだけど
0321１３２人目の素数さん
2007/04/04(水) 23:40:020322１３２人目の素数さん
2007/04/04(水) 23:47:530323320
2007/04/04(水) 23:56:000324１３２人目の素数さん
2007/04/05(木) 00:34:260325１３２人目の素数さん
2007/04/05(木) 00:35:18単純すぎ。
0326１３２人目の素数さん
2007/04/05(木) 00:40:570327１３２人目の素数さん
2007/04/05(木) 00:49:550328１３２人目の素数さん
2007/04/05(木) 01:18:35# ルートクラスを最小元とする半順序集合上にλモデルが作れる。
0329１３２人目の素数さん
2007/04/08(日) 04:56:040330１３２人目の素数さん
2007/04/08(日) 10:25:51誰って彼の何を知りたい？
0331１３２人目の素数さん
2007/04/08(日) 11:43:390332１３２人目の素数さん
2007/04/08(日) 12:39:390333１３２人目の素数さん
2007/04/08(日) 18:48:47http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20070109
岩波数学辞典にも載ってると思うけどな。
0334１３２人目の素数さん
2007/04/09(月) 01:17:39マジレスが続いてがっかりしてるんじゃないか
0335１３２人目の素数さん
2007/04/09(月) 02:33:38検索結果の範囲では米田信夫のなまえが出てこない。
0336１３２人目の素数さん
2007/04/09(月) 07:13:14「米田の補題」でぐぐったら３番目に名前と写真が出てきましたが？
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