圏論 / カテゴリー論 / Category Theory 3
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0001１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 07:21:12圏論 / カテゴリー論 / Category Theory 2
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1089645233/
なんで圏論なんてもんがあんのよ？
http://makimo.to/2ch/science3_math/1057/1057731708.html
■関連スレ
大好き★代数幾何 Part 3
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1119870806/
非古典論理について語るスレ
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1071060325/
■関連過去スレ
層
http://makimo.to/2ch/science2_math/1003/1003853278.html
シット サイト トポス シャン モチーフ
http://makimo.to/2ch/science_math/1007/1007625226.html
0153１３２人目の素数さん
2007/03/08(木) 18:01:17とりあえず出来たっぽいです
圏って好き勝手に射があっても良いのかと思ってました
Arrow(B)={1→1、2→2、3→3、1→2、2→3、1→3}の時
Tの射の集合に次を追加
T(1→1)=2→2
T(2→2)=4→4
T(3→3)=4→4
この時、T(1c)=1(Tc)について
c=1の時
左辺:T(1→1)=2→2
右辺:1(T(1))=1(2)=2→2
よって成り立つ
0154１３２人目の素数さん
2007/03/08(木) 19:44:34函手の自然な具体例を挙げてみな。
0155１３２人目の素数さん
2007/03/08(木) 20:31:21高等関手
0156１３２人目の素数さん
2007/03/08(木) 20:43:05今、函手で出来そうだと思っているイメージ(Cを圏とします)
Cの各対象を定数倍や階乗、べきなどの組み合わせで置き換える函手
Cの各対象cが集合だったらcをその要素で置き換える函手(和集合)
Cの各対象cを対<c,c>で置き換える函手
テキストは｢圏論の基礎」なんですが
これには単純な例としてべき集合函手がのってました
0157１３２人目の素数さん
2007/03/08(木) 20:55:26深い意味はない。
人工的でないっていうこと(>>152は人工的だわな)。
要するに具体例をあげてみな。
教科書に頼らず。
0158１３２人目の素数さん
2007/03/08(木) 21:08:29Obj(C)をCの対象、A(C)をAの射として
Cを次のように定義
Obj(C)={月、火、水、木、金、土、日}
A(C)={月→火、火→水、...、土→日}
函手Tを次のように定義
Tの対象 A(C)→{平日、土日}
具体的には
月→平日、火→平日、...、金→平日
土→土日、日→土日
Tの射
T(月→火)=平日→平日
T(火→水)=平日→平日
..
T(金→土)=平日→土日
T(土→日)=土日→土日
0159１３２人目の素数さん
2007/03/08(木) 21:11:29T(月→火、火→水)=T(月→水)=あ、定義できないorz
T(月→火)T(火→水)=平日→平日、平日→平日=平日→平日
0160１３２人目の素数さん
2007/03/08(木) 21:14:42恒等射
A(C)に{月→月、火→火、...、日→日}も追加して
T(1月)=1(T月)について
左辺:T(月→月)=平日→平日
右辺:1(T月)=1(平日)=平日→平日
こっちは成り立ってる
結局、「合成が閉じている」がわかってないのか
0161１３２人目の素数さん
2007/03/08(木) 21:24:53あんたは圏論をやるには早過ぎる。
圏論をやるには数学の基礎（大学の２、３年次程度）が必要っていうか、
基礎が身についてないのにやってもあまり意味ない。
0162１３２人目の素数さん
2007/03/08(木) 21:38:450163１３２人目の素数さん
2007/03/08(木) 21:42:47良薬は口に苦し。
悪く思うな。
0164１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 02:12:507圏をちゃんと圏にするためには、対象を{0,1,2,3,4,5,6}とみて
n=<mのときn→mが唯一あるとすればよい。この例は圏論の基礎1章2節のまんなかあたり
に載っている。
0165１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 16:31:22言語学でも圏論を使うようになっちゃったから、
数学の学生でない限り無理に>>161の助言に従うことはないよ
0166１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 17:14:230167１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 17:21:220168１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 19:49:48無責任なこと言うなよｗ
0169１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 19:52:14いやまあ数学の基礎がないと圏論学ぶ意味がどうこう、ってより、
圏論に出会う時点でまだ数学の基礎を勉強したことがないってのは
数学の学生としてはどうよ、と思っただけですわ
まあしかし>>158はそれ以前のもっと基礎的なところくらいは
先にやっててほしい気もする
>>150のようなことを言ってもらう必要があるってレベルでは
さすがに圏論の勉強自体がきついかもしれん
0170１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 19:57:56計算機科学で圏論を使うのは大いに結構。
しかし、ここは数学板だ。
計算機科学の板じゃないんで。
それにしても圏と関手の具体的例を知らないで圏論をやろうというのは、
なんていうか、女を生れてこのかた見たことがない男（野生で育ったとか）がセックスの
やり方を学ぶようなもんだろｗ
0171１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 20:00:38先生、生まれてこの方彼女と言うものができたことの無い
三十路の俺はどうやってセックスのやり方を学べばよいのですか？
0172１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 20:07:10別に学ぶ必要はない。
セックスは義務ではない。
0173１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 20:08:15king、なんでコテはずしてるの？
0174１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 20:13:42集合や群程度の非常に基礎的な例だけ知った時点で
圏論始めちゃうのもいいかもしれんね
0175１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 20:19:26ダメだね。よっぽどの秀才、天才以外は。
その天才でも古典に学ぶことは多い。
固体発生は系統発生を繰り返すというのは生物だけではなく数学にも当てはまる。
0176１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 20:36:19集合の圏や群の圏のような全体的な機構を
どれだけ調べられるかと言うと
疑問は残りそうだよね。
0177１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 20:36:22はあ？
0178１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 20:38:30他の代数や位相を勉強する前にZornの補題とか勉強しても
その意義なんて良くわからんだろうし。
0179１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 20:38:42googleれよ
0180１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 20:42:05だから数学を学ぶための基礎的なツールとしての基礎の集合論と
公理的集合論とは違うってことかもね
だったら数学を学ぶための基礎的なツールとしての基礎の圏論が
あってもいい気がするよってことなんだけど
0181１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 20:44:52位相の前にやることがあるだろ。
微積とか線形代数とか。
0182１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 20:50:08学ぶにも当然順序がある。
確かに論理的には集合論から始めてもおかしくはない。
Bourbakiのように。
そのBourbakiも大学２、３年次レベルの数学的知識を持っているものを
読者として想定している。
数学は論理じゃないんだよ。
これを誤解してるやつは多い。
0183１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 20:53:07ついでにいっとくと固体じゃなくて個体ね
0184１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 20:55:33言う必要なし。
２ｃｈで明らかなtypoを指摘するほどヤボはない。
よく悔しまぎれにこれをやるやつがいるが。
0185１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 20:56:210186１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 20:57:39そこまで親切にする必要はない
0187１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 21:01:28ということを
「個体発生は〜」と譬えるとか、比喩が下手なのにもほどがあるだろ
0188１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 21:02:32単にあんたが鈍いだけ
0189１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 21:02:51そっか。「大学２、３年次レベル」という要求で
もうちょっとレベルの高いものを要求してるんだと思ってた。
そりゃまあ四則演算やる前に群環体やる奴もおらんだろうし
やれと薦めもしませんよ。
0190１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 21:03:59「基礎の圏論」は抽象代数系の取り扱いとほぼ同義だと
思っていいのではないかな。
そう考える場合、代数学の基礎をやるには何が必要か
とか考えていくと、それなりに殺るべき事が待ってると思うぞ。
0191１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 21:11:45１、２年次だったかな。
まあ大して変わらないが。
0193189
2007/03/09(金) 21:14:00「個体発生は・・・」の比喩で言わんとしてる内容は
わからんでもないな。
ただ、その内容が100％正しいとも思えんのだけど。
>>190
それはそうだよ。何もやらなくていいわけない。
ただ、今の一般的なカリキュラムよりは少し早めに
基礎の圏論を導入して、他の数学を学んでいく過程と
圏論のより複雑な概念の学習とをある程度並行させたほうが
教育効果が上がるんじゃないかな、って。
まあ単にLawvere主義者のタワゴトかもしれんね。
0194１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 21:14:05位相幾何こそ圏論の母体だから。
0195１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 21:31:45まともに圏論やらないとかいうカリキュラムだからな。
なんせ有限群の表現論でさえ、俺が卒業した後に
ようやく講座できたぐらいだし。
# まあ、対称群の表現は組合せ論的な部分が大きいし、
# その辺のヤングタブローとかなんとかの話は
# 不変式論的なアプローチで関数方程式論の講義の
# 一部としてやっちゃったけどね。
ドラームコホモロジーもさらっとやる程度だし、
ホモロジー代数にいたっては選択と集中講義の中に
押し込められてた記憶がある。
圏論的なものの見方なんかほとんど学部ではやらないし
勝手に自分で学べ、という実に自由な学風であったことよ。
0196１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 21:52:35何すべきかわからん奴は知らん、
というのも見識か
0197１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 21:59:56いきなりペアノ公理をはじめる
精子の先端に完成された人間のミニチュア番が入っている
0198１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 22:01:160199１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 22:05:21代数トポロジーの人は？
0200１３２人目の素数さん
2007/03/09(金) 23:34:16うちではやってる先生いなかった気がする……
0201１３２人目の素数さん
2007/03/10(土) 00:58:10>When the calculus volume of the Formulario was published Peano, as he had indicated,
>began to use it for his teaching. This was the disaster that one would expect.
既にペアノ自身がそれに近いことをやって大失敗してる
0202１３２人目の素数さん
2007/03/11(日) 21:51:130203１３２人目の素数さん
2007/03/24(土) 13:28:22<Exc> In a poset(P,<) considered as a category, all diagrams commute.
To what do the limit and colimit of a diagram correspond ?
0204１３２人目の素数さん
2007/03/24(土) 14:19:54colim は下限、 lim は上限に対応
0205１３２人目の素数さん
2007/03/24(土) 17:12:50Thank you. Very easy. Poset is a simple category!
0206１３２人目の素数さん
2007/03/25(日) 00:43:28日本の2ちゃんねるは世界で唯一、圏論について話すことができる掲示板である。
0207１３２人目の素数さん
2007/03/25(日) 01:52:50where you can talk about category theory, suck my balls.
0208１３２人目の素数さん
2007/03/25(日) 10:22:040209１３２人目の素数さん
2007/03/25(日) 11:21:27categoryの例をあげよ
0210１３２人目の素数さん
2007/03/25(日) 11:22:58了解です。
0211１３２人目の素数さん
2007/03/25(日) 12:20:24Janken and Week and ...
0212１３２人目の素数さん
2007/03/25(日) 18:04:59そんな簡単な問題なんで出すの？
0213１３２人目の素数さん
2007/03/25(日) 18:22:590214１３２人目の素数さん
2007/03/25(日) 18:28:49つまり圏同値を除けば唯二つあるという事
0215１３２人目の素数さん
2007/03/27(火) 19:31:28わからないことだらけなので教えてください。
（Q1）プルバックとプッシュアウトはなんだか最大公約数と最小公倍数に
似ていますが、関係ありますか？
（Q2）Limitは、高校で習う極限と関係がありますか？
名前は同じなのですが、あまり同じようには思えないのですが。
よろしくお願いします。
0216１３２人目の素数さん
2007/03/27(火) 22:47:59言語学でカテゴリ論使われているそうだけどそれに関する情報が見つからん。
なんか参考文献でもあったら教えてくれ。
0217１３２人目の素数さん
2007/03/28(水) 00:06:39> （Q1）プルバックとプッシュアウトはなんだか最大公約数と最小公倍数に
> 似ていますが、関係ありますか？
整除関係は順序だからね。>>203-205 参照
> （Q2）Limitは、高校で習う極限と関係がありますか？
実数には普通の順序で圏の構造が入るでしょ。
下降列の極限はその圏での極限になる。
0219１３２人目の素数さん
2007/03/28(水) 00:10:32詳しいことは知らないけど、Joachim Lambek がやっているらしい
http://www.math.mcgill.ca/department/display_people.php?id=99
0220１３２人目の素数さん
2007/03/28(水) 02:15:390221１３２人目の素数さん
2007/03/29(木) 01:42:55サンクス。
でもやっぱり怪しい雰囲気がちょっとするね。
0222１３２人目の素数さん
2007/03/29(木) 20:10:04posetより基本的なのが preordered set（前順序集合）。
これは任意の Hom(X, Y) が高々一個の元からなる小さい圏として
特徴付けられる。
poset は preordered set でしかも同型射が恒等射しかない圏である。
一般の圏は preordered set の自然な拡張になっている。
0223215
2007/03/29(木) 20:58:56ありがとうございます。
>整除関係は順序だからね。
ということはまず、やはりGCDやLCMと通じると思ってよいのですね？
次に、順序というのはよくわからないのですが、整除関係は分かります。
この整除関係をわかりやすい例として考えれば、その中に圏論の概念は
全部入っているものなのでしょうか？
たとえば対象として自然数全体をとって、射として割り切れるをとった圏の場合は、
始対象は１で、終対象はなし。しかしイコライザは？と考えると、そもそも
２つの自然数の間に割り切れる関係は１つしかないはずなので、イコライザ
の概念は出てくる余地はなさそうだし・・・
そもそもこんな考え方であっているのでしょうか？
圏論を勉強するのはまだ早いのかもしれませんが、もし教えてくれると
うれしいです。
0224１３２人目の素数さん
2007/03/29(木) 23:05:27> ２つの自然数の間に割り切れる関係は１つしかないはずなので、イコライザ
> の概念は出てくる余地はなさそうだし・・・
異なる二つの射じゃなきゃならないなんてことはないから、
同じものをとってきてイコライザを考えることはできるよ。
まあ結果は自明なんで、意味ないだろうけど。
> そもそもこんな考え方であっているのでしょうか？
考え方はだいたい合ってる。
でも先に集合論の基礎ぐらいは身に付けておいたほうがいいと思うよ。
でないと例がほとんど作れないでしょ。
例なんかなくても理解できるから問題ないというなら別だけど……
0225１３２人目の素数さん
2007/03/29(木) 23:48:35203では無いんだけど、
＞一般の圏は preordered set の自然な拡張になっている。
これってどういう意味で自然だと言えるの？
0226１３２人目の素数さん
2007/03/29(木) 23:52:380227215
2007/03/29(木) 23:56:20すぐに答えてくださってありがとうございます。
>異なる二つの射じゃなきゃならないなんてことはないから、
そうですが、自分が知っている整除関係を例にして圏論の概念を
理解できないかと思っていたものですから。イコライザにぴったりの
ものは整除関係では現れてこないということなのですね？
>まあ結果は自明なんで、
たとえば、12-->36 のイコライザは12でよいのでしょうか？
でも射が割り切れる関係のとき、射の合成やイコールになるというのは
どういうことかがわからなくなりました。
>でも先に集合論の基礎ぐらいは身に付けておいたほうがいいと思うよ。
わかりました。基本的な考え方はよく分かっているつもりですが、
順序という言葉など急いで勉強しておきます。
例があると助かるので整除関係がそれに使えればよかったのですが。
0228１３２人目の素数さん
2007/03/29(木) 23:56:42圏論で「自然な」を自然変換の他に使う場所あるの？
0229１３２人目の素数さん
2007/03/29(木) 23:59:41Hom(X, Y) の個数を増やせば一般の（小さい）圏になる。
0230１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 00:05:150231１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 00:07:24使ってもいいんじゃないの？
厳密じゃなきゃイヤだという人は、そいういう説明を無視すればいいわけで。
しかし、それにより失うものもあることは覚悟した上で。
0232１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 00:09:020233１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 00:12:56hom集合の濃度を増やせば一般の圏になるなんていうのは、合成関係を無視した不自然な（というか不可能な）見方だと思う
0234１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 00:13:300235１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 00:28:45＞シット サイト トポス シャン モチーフ
＞http://makimo.to/2ch/science_math/1007/1007625226.html
のシットって何？
0236１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 00:41:58なぜ？
順序集合では射の結合律が成り立っているから、それを拡張するということは
射の結合律は当然仮定すると考えると思うけど。
0237１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 00:43:20順序集合が圏になるっていうことを理解してないな。
0238１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 00:45:42時と場合によるだろ。
0239１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 00:52:42少数派らしいな。少なくとも、今ここにカキコしてる中では。
0240１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 01:00:540241１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 01:06:08圏論では当たり前という言葉は禁句に近い。
言われてみれば当たり前の概念（即ち圏と関手）の発見がつい５、６０年ほど前のこと
なんだから。
0242１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 02:55:57結合律の成り立つ射の追加の仕方といっても一通りではない
たとえば1だけの圏にaという射を追加するときにa*a=aという追加の仕方とa*a=1という追加の仕方がある。
で、この場合どっちが自然な拡張だとか言っても意味が無い。
0243１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 02:59:59preorderになるグラフって言うのはそもそも射の合成の仕方がひとつしか
入らないわけで、それを自然に拡張したら任意の圏になるって言われても意味不明。
0244１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 03:01:40多分一意的にならない。
0245１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 04:01:26圏からこの条件を外すと圏よりもっと一般的な概念が
得られるわけです。そういう方面の研究ありますか？
0246１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 09:14:02あんたの考えが狭すぎる。
別にいいんだよ自然でも自然でなくても。
圏をpreoderの一般化と見ることにより見えてくるものがあればいい。
そんな見方不要というならそれでもいい。
それで、別に食うには困らないし死にはしない。
0247１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 09:30:20246のように考えるなら「こんな考え方もあるんだよ」と一回言うだけで十分で
別に延々と議論しなくても誰も困らんし死にはしないな
0248１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 12:03:52圏の圏、合成が定義された有向グラフの圏、2項関係つき集合の圏
に忠実充満に埋め込める。
>>245 例えば結合性を少し緩めたA_∞圏。
合成が定義された有向グラフの一般論は知らない。
考えられる問題は
圏の圏から合成が定義された有向グラフの圏への函手の随伴函手があるかどうか
合成が定義された有向グラフで圏とは違う良い例の構成
対象が一つの場合だと
モノイドの圏からマグマの圏への函手の随伴函手があるかどうか
マグマでモノイドとは違う良い例の構成
0249１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 12:25:010250１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 12:53:29ドキュンは往々にしてどうでもいい細かいことに拘る。
0251１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 12:57:240252１３２人目の素数さん
2007/03/30(金) 12:58:10軽視するのもドキュン。
要するに、物事のウェイト付けが根本でずれている。
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