y=(1+x)^(1/x)　とおいて、
logy=(1/x)log(1+x)
dy/dx=(1+x)^(1/x)〔1/{x(x+1)}-{log(1+x)}/x^2〕
=(1+x)^(1/x) {x/(x+1)-log(1+x)}/x^2
ここで、x→0で
{x/(x+1)-log(1+x)}/x^2={1/(x+1)^2-1/(x+1)}/2x={1/(x+1)^2-2/(x+1)^3}/2=-1/2
(1+x)^(1/x)=e
だから、
e*(-1/2)=-e/2