大事なのはfが連続関数で、S×S×Sがコンパクトである、という部分。
このときはfの値域は有界な閉集合になって、最大値と最小値が存在する。

値域が[0,∞)と有界でなかったり[0,1)みたいに閉集合でなかったりすると
最大値が存在しない場合がある。

…自分旧課程だけど、こういうのは高校では教わった憶えはないや。