>>20の問題を間違えていました。
正しくは
∫[θ=0,π/2]√(1+cos^2θ)dθ です。

＜自分の解き方＞
∫[θ=0,π/2]√(1+cos^2θ)dθ
cos^2θ=(1+cos2θ)/2より、
∫[θ=0,π/2]√((3+cos2θ)/2)dθ
この先が難しいです。