>>e^πとπ^eの大小

結局、e^x と x^e を比較するってことになります。
まあ普通、e^x と x^e とでは e^x のほうが発散が速く、この問題の場合
e^π>π^e と予想されます。ま、関数電卓もってたら計算してみてください。

で、ここまで考えられたら
f(x)=e^x-x^e
とおいて、増減表書いて「x=πでf(x)>0」で終わりってことにしたいんですが
f'(x)=e^x-e*x^(e-1)
となって、ここでハタと止まってしまいます。
このあと、どうすりゃいいんでしょう？

結論から言うとこの後どうやっても進みません。
いや、単に俺にやる気がないだけで、ゴシゴシやれば何とかなるのかもしれませんが。
f''(x) とか f'''(x) とか出してみたりして。
やる気が無限にあるという人はどうぞやってみてください。
「できた！」ってゆー人は教えてね。