◆ わからない問題はここに書いてね ２００ ◆
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0001１３２人目の素数さん
2006/08/26(土) 15:00:00・積分 ∫[x=1,3] (e^(x+3))dx ・数列の和 Σ[k=1,n]A(k)
・分数 (a+b)/(c+d) （分子a+b､分母c+d） ・ベクトル AB↑ a↑
＿ 。
, '´ ヽ ／／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
! i iﾊﾙ）))〉 ／ | 上記のように書いてローマ数字や丸付き数字などを
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質問をスルーされた場合の救済スレ
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1095491277/l50
（その他注意・関連リンクは>>2>>3>>4辺りを参照）
0159１３２人目の素数さん
2006/08/30(水) 21:04:570161１３２人目の素数さん
2006/08/30(水) 23:39:22工房(1)です。どなたか教えて下さい。
|OA↑|=3
|OB↑|=2
cosθ=5/6 (θ=∠AOB) の時
s,tを実数とし、
OP↑=sOA↑+tOB↑
で表される点Pについて考える。
1,四角形OAPBが平行四辺形になるためのs,tの条件を求めよ
2,点Pが∠OABの二等分線上にあるとき、s,tの関係を求めよ
3,点PがABの垂直二等分線上にあるとき、s,tの関係を求めよ
0162１３２人目の素数さん
2006/08/30(水) 23:43:59これは…自分で図を描いてみるのが一番早いと思われ。
0163１３２人目の素数さん
2006/08/30(水) 23:48:18失礼しました。
0164おねがい
2006/08/30(水) 23:52:43この中から1枚のカードを取り出し、そのカードに書かれている数を確認
してもとに戻すという操作を繰り返し行う。ただし、前野か居に取り出した
のと同じ数、またはそれより大きい数が取り出された時点で操作を終了する
ものとする。このとき
(1) 操作が終了するまでに1度も4が書かれたカードが取り出されない確立を求めよ
(2) 操作を行う回数Xの期待値E(X)を求めよ。
0165162
2006/08/30(水) 23:57:44スマソ 問題文をよく読まずにレスしてしまったOTL
1番は簡単だが
2番：AP↑をAO↑とAB↑で表してみよう。
3番：考え中。。。
0167163
2006/08/31(木) 00:09:07もう少し頑張ってみます。
ありがとうございました
0168１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 01:48:54〔補題〕I = ∫[0,π/2] log{sin(x)}dx = -(π/2)log(2).
(略解)
x⇔π-x について対称だから、∫[0,π] log{sin(x)}dx = 2I …… (1),
x を π/2 -x に変換して、∫[0,π/2] log{cos(x)}dx = I.
ここで x=2ξ とすれば
log{sin(2ξ)} = log(2sinξcosξ) = log(2)+log(sinξ)+log(cosξ) より
I = (1/2)∫[0,π] log{sin(x)}dx = ∫[0,π/2] log{sin(2ξ)}dξ = (π/2)log(2) + 2I.
よって標記の結果を得る。
高木: ｢解析概論｣ 改訂第3版, 岩波書店, p.113 (1961), 第3章, §34, [例3]
I とおく。
0169168
2006/08/31(木) 01:51:02J = ∫[0,π] x･log{sin(x)}dx
で xをπ-x に変換して、
J = ∫[0,π] (π-x)log{sin(x)}dx
辺々たして (1)を使うと
2J = π∫[0,π] log{sin(x)}dx = 2πI.
>>153 (下)
部分積分により
∫ {x/tan(x)}dx = x･log{sin(x)} - ∫log{sin(x)}dx,
∫[0,π/2] {x/tan(x)}dx = -I.
0170１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 02:52:440171１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 08:12:41ありがとうございます m（_ _）m
0172１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 16:31:380173１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 16:47:12(1)方程式①の実数解をaを用いて表せ
(2)方程式①と2次方程式x^2-bx+3=0がただひとつの解を共有するとき。定数a,b,cの値を求めよ。
誰か解説してください。
0174１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 16:48:33問題文が変
0175１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 16:57:00↓
複素数1+iをひとつの解とする実数係数の…でした。
《訂正版》
複素数1+iをひとつの解とする実数係数の3次方程式x^3+ax^2+bx+c=0…①について
(1)方程式①の実数解をaを用いて表せ
(2)方程式①と2次方程式x^2-bx+3=0がただひとつの解を共有するとき。定数a,b,cの値を求めよ。
0176１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 17:06:49(1)は三次方程式の解と係数の関係を使う。
1+i が解なら 1-i も解になる。
実解をαとすると、
α+(1+i)+(1-i) = α+2 = -a
α = -a-2
0177通りすがりのアホ
2006/08/31(木) 17:07:243x+y+4≧8 よって 1≦5x-y+4＜8 ってとこが解らないんですけど
教えてもらえませんか？
0178１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 17:13:460179１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 17:25:55(1) (x-(1+i))(x-(1-i))=x^2-2x+2で割り切れるから、x^3+ax^2+bx+c=(x^2-2x+2)(x+a+2)、x=-(a+2)
余り(b+2a+2)x+(c-2a-4)≡0から、b=-2(a+1), c=2(a+2)、
(2) ただひとつの解を共有するなら、それは実数解のx=-(a+2)だから、
x^2-bx+3=(a+2)^2+b(a+2)+3=(a+2)^2-2(a+1)(a+2)+3=(a-1)(a+3)=0
a=1,b=-4,c=6、a=-3,b=4,c=-2
0180１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 18:07:23何故b=-2(a+1)なのですか？
0181１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 18:21:330182１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 18:31:100183１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 18:48:28全部書け
0184１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 19:12:35すべての実数χについて、２次不等式Kχ*χ－(K－１)χ＋K＜０が成り立つような定数Kの値の範囲を求めよ。
お願いします。
0185１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 19:13:590186１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 19:15:51「2次不等式」であることから x^2の係数＝K≠0 に注意。
判別式
0187１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 19:25:03A^X＝BX
みたいに指数方程式が混じってる方程式を解く
一般的な解法があるのでしょうか？
もしよろしければ、ご教示ください。
0188１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 19:27:23なかったはず
0189１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 19:29:05k<0 かつ 判別式<0
という連立不等式を解く。
0190187
2006/08/31(木) 19:32:07素早いレス、どうもありがとうございます。
あと、もしよろしければ、そういう知識は
数学でいうと、どのレベルで出てくる問題なのか参考までに
おしえていただければ、ありがたいっす。
0191１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 19:33:55(1)ｆ(x)=Oが重解をもつときａ,ｂの関係式を求めよ。
(2)f(x)=0が三重解を持つときａ,ｂの値を求めよ。
解説つきで誰かお願いします。
0192１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 19:34:03なんとなく判った気がします。
ありがとう御座いました。
0193１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 19:36:32f(-2)=0
0194１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 19:37:44ランベルトのW関数というもの
あとはぐぐれば大体分かるかと
0196１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 19:54:21マルチ
0197１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 19:55:490198１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 19:57:45その式に「何を」しろと？
0199１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 20:25:160200１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 20:26:000201１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 20:45:07･･････求めると12になるそうですが、課程が分からないので誰か教えてもらえませんか？
0202１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 20:47:53二項定理
0203１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 20:52:590204１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 21:11:05一般項は
nCk*{(x^5)^(n-k)}*(-1/x^7)^k=nCk*(-1)^k*x^(5n-12k)
定数項になるのは
5n-12k=0 すなわち 5n=12k のとき。
5と12は互いに素な整数だからnは12の倍数。
そのうち最小の自然数は12。
0205誰か助けて！
2006/08/31(木) 21:25:27ありがとうございます。
>>204
展開式の一般項であるnCk*(-1)^k*x^(5n-12k)の5n-12の部分が分からないのですが。
-12は何故そうなるのでしょうか。
0206１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 21:30:495(n-k)-7k=5n-12k
0207205
2006/08/31(木) 21:37:22ありがとうございまス!!!
0208１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 21:44:01(1)ｆ(x)=Oが重解をもつときａ,ｂの関係式を求めよ。
(2)f(x)=0が三重解を持つときａ,ｂの値を求めよ。
解答
(1)a^2+4b=0または2a-b+4=0
(2)a=b=-4
誰か解説いただけないでしょうか。
0209１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 21:53:40(1) f(x)=(x+2)(x^2-ax-b)
よってx^2-ax-bが重解をもつか、-2が解か。
ゆえ、a^2+4b=0または2a-b+4=0
(2) a^2+4b=0 かつ 2a-b+4=0.
0210１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 21:54:13>>193
f(－2)＝0 だから f(x)は因数x＋2をもつ。
0211１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 21:54:35まるち
0212１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 22:02:44とりあえず因数分解。
0213１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 22:07:25Y＝x＾2-4x＋3・・①、Y＝-x＾2＋2ax-5・・・②がある。
①のグラフが②のグラフより上側にある定数aの値の範囲を求めよ。という問題があって意味わかりません。解答は-6＜a＜2で、解答途中にX＾2の係数は正だから・というのが理解できません。助けてください。
0214１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 22:10:370215１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 22:11:320216１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 23:22:162次元だったら、三角関数使って簡単に求められるんですが･･････
0217１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 23:24:13法線ベクトルのなす角を内積使って求めればいいんじゃないの
0218１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 23:32:38法線ベクトルはまずいっしょ
方向ベクトルつかわにゃ
0220１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 23:46:53A:Nから{0,1}への写像全体
B:NからNへの写像全体
C:NからAへの写像全体
今日行われた院試の選択問題1問目です。(原文ママ)
感覚的にはCが濃くてAが薄そうなのですが、示し方を思いつきませんでした。
どうか宜しくお願いします。
0221１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 23:54:44あーなるほど、考えてみます。ありがとうございます。
0222１３２人目の素数さん
2006/09/01(金) 00:15:00≦｜Ｂ｜＝｜Ｎ｜＾｜Ｎ｜
≦｜Ｃ｜＝｜Ａ｜＾｜Ｎ｜
＝（２＾｜Ｎ｜）＾｜Ｎ｜
＝２＾（｜Ｎ｜｜Ｎ｜）
＝２＾｜Ｎ｜＝｜Ａ｜。
0223１３２人目の素数さん
2006/09/01(金) 01:17:110224１３２人目の素数さん
2006/09/01(金) 03:32:20Σ[j=1,n]Σ[k=1,n]((2j-k)^2)
Σが2重になると全くわからなくなります
よろしくお願いします
0225 ◆Snow..tP7w
2006/09/01(金) 03:37:26狽ｪ2重でも恐れることは無い。
内側（右側）から順に計算していこう。
納j=1,n] { 納k=1,n](2j－k)^2 }
0226１３２人目の素数さん
2006/09/01(金) 03:39:070228226
2006/09/01(金) 03:48:01の対偶は XY<0 ⇒ X<0 又は Y<0
でいいんでしょうか？
でもこれだとX<0かつY<0の時XY>０になってしまう気がするんですが･･･
0229１３２人目の素数さん
2006/09/01(金) 03:51:430230226
2006/09/01(金) 03:57:36ありがとうございました。
0231１３２人目の素数さん
2006/09/01(金) 08:05:302×5で√10でいいんですか？
0232１３２人目の素数さん
2006/09/01(金) 08:06:340233１３２人目の素数さん
2006/09/01(金) 08:46:040234１３２人目の素数さん
2006/09/01(金) 09:01:410235１３２人目の素数さん
2006/09/01(金) 09:04:14ありがとうございました。
0236１３２人目の素数さん
2006/09/01(金) 10:48:050237１３２人目の素数さん
2006/09/01(金) 11:48:140238１３２人目の素数さん
2006/09/01(金) 12:54:53r*V^2↑＝f´´(r) + 2*f(r)´/r
だとすれば、
r*V^2=0
となるf(r)を求めよという問題です。
お願いします。
0239１３２人目の素数さん
2006/09/01(金) 13:13:50{r^2*f´(r)}'=0
r^2*f´(r)=C
f´(r)=C/r^2
f(r)=-C/r+D
0240１３２人目の素数さん
2006/09/01(金) 20:13:18不定積分出してから、0から1まで積分してもπ/4になるの？
0241１３２人目の素数さん
2006/09/01(金) 20:20:420242１３２人目の素数さん
2006/09/01(金) 20:22:56x=sin(θ)とおくと、∫√(1-x^2) dx=∫cos^2(θ) dθ=(1/2)∫1+cos(2θ) dθ=(1/2){θ+sin(2θ)/2}+C、
xが0～1のとき、θは0～π/2だから、π/4になるよ。
0243１３２人目の素数さん
2006/09/01(金) 20:42:260244240
2006/09/01(金) 20:48:54なるほど、そういう考え方もあるのね。
でもすみません、置換などをしないでxの式で表された式が知りたいんです。
前見たことがあった気がするんだけど、全然覚えてない…
0245１３２人目の素数さん
2006/09/01(金) 20:56:421/2{x√(1-x^2)+arcsinx}
0246１３２人目の素数さん
2006/09/01(金) 22:08:100247１３２人目の素数さん
2006/09/01(金) 22:19:360248１３２人目の素数さん
2006/09/02(土) 01:04:29(2j-k)^2 = 4j^2 + k^2 -4jk と展開して
(与式) = 4納j=1,n] j^2・納k=1,n] 1 + 4納j=1,n] j・納k=1,n] k - 4納j=1,n] 1・納k=1,n] k^2
= 4S_2･S_0 + S_0･S_2 - 4(S_1)^2.
ここに, S_i = 納k=1,n] k^i.
これに S_0=n, S_1=n(n+1)/2, S_2=n(n+1)(2n+1)/6 を代入して.
(与式) = (1/6)(n^2)(n+1)(4n-1).
0249１３２人目の素数さん
2006/09/02(土) 02:46:090250１３２人目の素数さん
2006/09/02(土) 02:47:11でｙが存在するためのｘの範囲を求めよ
0251１３２人目の素数さん
2006/09/02(土) 03:04:29yが複素数の範囲ならxは全ての実数（複素数？）だろうけど
yが実数の範囲なら log の括弧内が負にならないために 2<x<8
0252１３２人目の素数さん
2006/09/02(土) 04:14:17勉強しているならば叱られている。
0253 ◆koCor5XapE
2006/09/02(土) 05:35:31結局、e^x と x^e を比較するってことになります。
まあ普通、e^x と x^e とでは e^x のほうが発散が速く、この問題の場合
e^π>π^e と予想されます。ま、関数電卓もってたら計算してみてください。
で、ここまで考えられたら
f(x)=e^x-x^e
とおいて、増減表書いて「x=πでf(x)>0」で終わりってことにしたいんですが
f'(x)=e^x-e*x^(e-1)
となって、ここでハタと止まってしまいます。
このあと、どうすりゃいいんでしょう？
結論から言うとこの後どうやっても進みません。
いや、単に俺にやる気がないだけで、ゴシゴシやれば何とかなるのかもしれませんが。
f''(x) とか f'''(x) とか出してみたりして。
やる気が無限にあるという人はどうぞやってみてください。
「できた！」ってゆー人は教えてね。
0254 ◆koCor5XapE
2006/09/02(土) 05:36:08つまり
f(x)=(e^x)/(x^e)
という形に持ち込んでこれが1より大きいとか小さいとか判定するわけです。
んでこれを微分すると
f'(x)=[ (e^x)(x^e)-(e^x){e*x^(e-1)} ] / {(x^e)^2}=(e^x){(x-e)*x^(e-1)}/x^2e
ここで、どうせ x=π 近辺での話しさえしとけばいいわけですから
値域が負とか0近辺のことはほっといていいわけです。
それではどのあたりから攻めるか？
まあ、この問題では e と π でもめてるわけですから e あたりから攻めましょう。
x>e の範囲では f'(x)>0 であるからグラフは単調増加。f(e)=1 より f(x)>1 (x>e)
したがって π>e より f(π)>1
以上から e^π>π^e
0255 ◆koCor5XapE
2006/09/02(土) 05:36:55でも再三いって来たとおり、この解法を「受験の現場で」思いつくでしょうか？
「大小比較は ・f(x)=A-B と置け ・f(x)=A/B と置け」とかって覚えたりしてたらいけるかもしれません。
そういう方法論も一概に悪いとは言いません。効率よさそうだし。
ただね、やはり「本質的でない」って思います。
今回は微分しやすい e^x だったけどほかの数値だったらどうします？
というより、「50^27 と 32^40 の大小」だったらどうします？
これを分数に持ち込もうとするでしょうか？しないよね？
ま、この手の問題には「2の常用対数を0.30…とする」とかついてくるのでそれでピンとくるはずですが。
何が言いたいかというとですね、「受験数学」なるものにあまりに染まりすぎると思わぬ落とし穴があるって事です。
チャート的な「…があったら～と置け」というやり方も「問題文のヒントを使え」とか「流れに乗れ」とかいうのは
どこか本質を忘れ去ってる気がします。
0256 ◆koCor5XapE
2006/09/02(土) 05:37:50ではそれらを捉えるためにはどうするのか？
そのために考え出されたのが指数法則であり、対数関数であるわけです。あ、言い方が逆か。
ま、とにかく乗数を捉えようと思ったら指数法則に落とし込むべく、対数を考えるのが常道です。
というよりそのために対数が考え出されたわけです。
ではこの東大の問題ではどうなるのか？
e^πとπ^e の大小は（問題を解く前は）わからないわけですが、上述した通り e^π>π^e と予想されます。
ならば両方とも正ですから対数をとっても大小関係は変わらないはずです。
つまり π>e*logπ のはず。
で、ここで e と π のどっちを x と置いたほうがあとあと式展開が楽そうだろうかと考えると
当然 π を x と置いたほうがよさそうです。つまり (logπ)x より e*logx のほうが身近ってわけです。
そこで
x>e*logx (x=π) をもうちょっと変形すると x/logx>e (x=π) を示せばよい。
あとはf(x)=x/logx と置いて増減表書いて x>=e で f'(x)>0 と f(e)=e からf(π)>e が示されます。
長々書きましたが「大小比較は ・f(x)=A-B と置け ・f(x)=A/B と置け」とかってやり方よりも
「乗数があったらその逆関数の対数を考える」方が数学的には本質に沿っている気がします。
0257 ◆koCor5XapE
2006/09/02(土) 05:38:56スレ汚しすみません
0258１３２人目の素数さん
2006/09/02(土) 05:52:26f(x) = x - e*log(x) を選べば
f'(x) = 1 - e/x
f(e) = f'(e) = 0
x＞eのときf'(x)＞0だからx＞eでf(x)＞0
よってf(π)=π-e*logπ＞0
e^π＞π^e
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