p,q>1だから、

q={2p±(p^2+1)}/(p^2-1)
で
q=(2p+p^2+1)/(p^2-1)=(p+1)/(p-1)
q=(2p-p^2-1)/(p^2-1)=-(p-1)^2/(p^2-1)=-(p-1)/(p+1) <0

となるから、下の場合は、∠BAC=45°、BC=(p-q)、q<0とした場合