5．>>381さんのレス及び>>316さん、>>318さんのレスを参照してください。
（領域の個数） = （交点の数） + 2なので交点の数が出来るだけ
たくさん増えるように図を描いて遣ればよいですが交点は最大で14個しか出来ません。
交点が14個出来る配置は実際に存在するので答えは14+2で【16】

6．選んだカードの枚数Nが例えば5ならば、5以上の5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15の
11枚のカードから5枚選んでやれば良いことになり、このとき11C5の選び方が在ります。
同様にNを1から8まで動かして足してやれば答えが出ます。
（N≧9のときは7枚以下のカードから9枚以上選ばないといけないので0通り。）
15C1+14C2+13C3+12C4+11C5+10C6+9C7+8C8
= 15+ 91+ 286+ 495+ 462+ 210+ 36+ 1 = 1596。答え【1596通り】

7．100を三進数で書くと10201。以下81をa個、27をb個、9をc個、3をd個使う
ことを(a,b,c,d)と書く。（1の個数は自動的に決まるので省略しました。）
(1,0,2,X)となる表し方は1通り。
(1,0,1,X)となる表し方は0≦X≦3なので)4通り。
(1,0,0,X)となる表し方は0≦X≦6なので)7通り。これで81を使い27を使わない表し方は1+4+7で12通り。
以下使わない表しかた。上と同様に
(0,3,Y,X)となる表し方はY=2,1,0で1+4+7=12通り。
(0,2,Y,X)となる表し方はY=5,4,3,2,1,0なので1+4+7+10+13+16=51通り。
(0,1,Y,X)となる表し方は8≧Y≧0なので1+4+7+10+13+16+19+22+25=117通り。
(0,0,Y,X)となる表し方は11≧Y≧0なので1+4+7+10+13+16+19+22+25+28+31+34=210通り。
全部足して12+12+51+117+210で答えは【402通り】　
（elegantじゃない答えで済みません。。これしか思いつかず。。）