計算ミスあったら指摘して頂けるとと嬉しいです。私は計算ミスが多いので。。

1．ΔABCは辺の長さが3,4,5の直角三角形。
ΔCADは辺の長さ5,5,6の二等辺三角形でCから垂線を下ろせば3,4,5の直角三角形二つに分かれます。

つまり面積6の三角形三つ分で【18】

2．合同式を使います。mod. 100で考えて、
11^2≡21, 11^3≡41, 11^4≡51, ........., 11^10≡1。
ここまでは(10 + 1)^10を二項定理で展開しても同じ事です。
次に12^13≡2^13≡1024・8≡4・8≡2 (mod. 10)だから
11^12^13≡11^2≡21　下二桁は21だから10の位は【2】

3．線分ABから距離3の点Pの集合は線分2つと外側の半円周2つの合併になります。
半円周上にある場合は、もっと内側に動かす事でAP×BPは小さくなるので線分上にあるとして構いません。
あとは>>363さんと>>364さんのレスの通り。真ん中からの距離をxとかおくと
(AP・BP)^2はt=x^2の2次関数となるのでそこから計算しても√441と答えが出ます。答え【21】

4．上二桁を二桁の整数とみなしてN、下二桁をMとします。（たとえば9832ならM=98、N=32ということ）
n =100N + M、問題の条件はNM | 100N + M（a | bは、bはaの倍数と言う意味）なので
N | MかつM | 100 Nです。従って最初の条件からM = kNとおけます。
そして10倍以上すると二桁じゃなくなっちゃうので1≦k≦9。
問題の条件に代入してkN^2 | (100 + k)NつまりkN | (100 + k)。
あとはk = 1のときからk = 9のときまでを全部虱潰しに考えて
(100 + k)/kの約数の中に題意をみたすNが存在するか確かめればよい。
101/1=101は三桁の素数。×。102/2=51=3・17。従ってN=17、k=2で題意を満たす。このときn=1734。
103/3は整数じゃない。×。104/4=26=2・13。N=26のときkNは3桁。× N = 13のときkN=52。このときn=1352。
105/5=21=3・7でN=21だが、kNが三桁。×。106/6は整数じゃない。×。107/7も108/8も同様。109/9も同様。×。
答え【1734, 1352】