表せない角度もあるとおもう。また例えば3の倍数の角度なら表せる。
3°の正弦と余弦を求めると、まず36°= π/5 = α とおく。
sin(2α) = sin(2π/5) = sin(π - (3π/5)) = sin(3π/5) = sin(3α) より、倍角と3倍角の公式から、
sin(2α) = sin(3α)　⇔　2sin(α)cos(α) = 3sin(α)-4sin^3(α)、また sin(α)≠0 だから、
2cos(α) = 3-4sin^2(α) = 3-4{1-cos^2(α)} = 4cos^2(α)-1　⇔　4cos^2(α)-2cos(α)-1 = 0
cos(α) = x とすると、4x^2-2x-1 = 0　⇔　x = (1±√5)/4、cos(36°)＞0 より、
cos(α) = cos(36°) = (1+√5)/4　‥‥(1)
(1)と半角の公式より、sin(18°) = √({1-cos(36°)}/2) = (√5-1)/4　‥‥(2)
cos(18°) = √({1+cos(36°)}/2) = √{(5+√5)/8} = √(10+2√5)/4　‥‥(3)
sin(15°) = √((1-cos(30°))/2} = (√6-√2)/4　‥‥(4)
cos(15°) = √((1+cos(30°))/2} = (√6+√2)/4　‥‥(5)
(2)〜(5) より、sin(3°) = sin(18°- 15°) = sin(18°)cos(15°) - cos(18°)sin(15°)
= {(√5-1)(√6+√2)-(√6-√2)√(10+2√5)}/16
3°の値が得られたから、3の倍数の角度 (6°,9°,12°...... 3n°) は、
計算は非常に面倒だが加法定理を繰り返し適用することにより計算できる筈。