>>565の続き
実際にベルヌーイ多項式を求めてみる。
B(0,x)=S'(0,x-1)=(納k=1,x-1]k^0)'=(x-1)'=1
B(1,x)=S'(1,x-1)=(納k=1,x-1]k^1)'={1/2x(x-1)}'=x-1/2
B(2,x)=S'(2,x-1)=(納k=1,x-1]k^2)'={1/6x(x-1)(2x-1)}'=x^2-x+1/6
と順次求まるが和の公式を知らないと計算が大変である。そこで漸化式を求めてみたい。
>>565の最後の式
納n=0,∞](1/n!)B(n,x)*c^n={ce^(cx)}/(e^c-1)
右辺をf(x)とするとf'(x)=cf(x)であるから左辺をxで微分すると
納n=0,∞](1/n!)B'(n,x)*c^n=c納n=0,∞](1/n!)B(n,x)*c^n
=納n=0,∞](1/n!)nB(n-1,x)*c^n
よってB'(n,x)=nB(n-1,x)
さらにn≧2ではB(n,0)=B(n,1) (n=2,3,…)であるので、
B(n,x)=n∫B(n-1,x)dx
B(3,x)=3∫B(2,x)dx=3∫(x^2-x+1/6)dx=x^3-3/2x^2+1/2x
B(4,x)=4∫B(3,x)dx=4∫(x^3-3/2x^2+1/2x)dx=x^4-2x^3+x^2

>>533以外でもB(n-1,x)=1/nB'(n,x)=S'(n-1,x-1)を使うことでも
婆^nを求めることもできる。
>>566-569批判が多いようなので今回で終わりにします。