king様！！
R^2のベクトル場X=-y(∂/∂x)+x(∂/∂y)
の初期値(ｘ,ｙ)の積分曲線は局所座標表示をc(t)=(x(t)、y(t))として、

微分方程式
dx(t)/dt=-y dy(t)/dt=x
を解いて、x(t) y(t)を求める。

dx/dt=-yから、(-1/y)dx=dtとして
x/y+t=C

よって　x(t)=y(c-t)となって、初期値が(x,y)であるから、

x(t)=y(1-t)です。
たぶん一関数だと思います！！