行列で質問です。

行列Ａ=
| t 1 |
| 1-t 0 |


(１)
A^2-pA=q(A-pE)…(①)をみたす(p,q)の組み合わせを求めよ。

①⇔A(A-pE)=q(A-pE)
ここで(A-pE)=X(≠0)とおくと
(A-qE)X=0
を満たすとき、(A-qE)^-1が存在するとX=0となってしまうので、
(A-qE)=
| t-q 1 |
| 1-t -q |
は逆行列を持たないので
(t-q)(-q)-(1-t)=0
⇔(q-1){q-(t-1)}=0
∴q=1 ､ t-1

ここまでは進んでみたのですが、このあとどうすればpの値を求められるのでしょうか？
もしかして根本的に違いますか？
ご教授ください。