>>653
ちょっと違う。
Σ[n=1〜∞] {9*10^(-n)}＝1 なのは、
左辺の級数が限りなく1に近づきその極限をもって1とするから。
通常は極限というのはε-δ論法で考えるけれど
その場合は普通の実数でも超準解析でも変わらない。
しかし、ε-δ論法では「限りなく1に近づく」は間接的にしか扱えない。

それに対し超準解析では、無限大や無限小が使えるので
「限りなく1に近づく」をもっと直接的に考える事ができる。
「a と b の差が無限小」を a≒b で表すとすると
極限を表す式 lim[n=1〜∞] a_n = a を
「数列a_n を超実数まで拡張した数列を考えると、無限大超自然数νに対し a_ν≒a 」
と定義し直す事が可能になる。
この定義を使えば、Σ[n=1〜∞] {9*10^(-n)}＝1 なのは
無限大超自然数νに対しΣ*[n=1〜ν] {9*10^(-n)}≒1 だから、と考える事ができる
（Σ*は、無限大超自然数までの和を考えられるようにΣを拡張したもの）。
ちなみに、Σ*[n=1〜ν] {9*10^(-n)}≠1になる。

ただし、この極限の定義は超準モデルの中でしか考える事が出来ないので、
ε-δ論法の方が本流だと考えるべきだと思う。

>>654
∞じゃなくて無限大超自然数νで考えれば「無理数との差が無限小の(超)有理数」になるね。