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1=0.999… その12.999…

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0001１３２人目の素数さん2006/08/07(月) 18:35:10
前スレ:1=0.999… その9.999…
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1118452051/
前スレ:1=0.999… その10.999…
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1136133055/
前スレ:1=0.999… その11.999…
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1142173277/

一応激しい論議の結果、回答テンプレートが作成されました　>2
今後書き込む際には、できるだけまず回答テンプレートを参照してから、それをふまえて行ってください。
また、回答テンプレートへの意見なども自由に書き込んでください。
0232１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 06:19:13
>>231
＞小数点以下を切り落とすんだから
ダウト。intは「小数点以下を切り落とす」演算ではなく、「その数を超えない最大の
整数を出力する」演算だよ。つまりint(x)＝min{n∈Z｜n≦x}ということ。たとえば
int(1.5)＝min{n∈Z｜n≦1.5}＝1
int(2.7)＝min{n∈Z｜n≦2.7}＝2
となる。0.999…については、0.999…＝1だから
int(0.999…)＝min{n∈Z｜n≦0.999…}＝min{n∈Z｜n≦1}＝1
となり、何も矛盾は起きない。

ちなみに、「小数点以下を切り落とす」演算をINTと表すことにすると、
この演算はwell-definedでは無い。すなわち、x＝yなのにINT(x)＝INT(y)が
成り立たないことがある。たとえば、x＝0.999…，y＝1とおくとx＝yであるにも
関わらずINT(x)＝0，INT(y)＝1となり、INT(x)≠INT(y)となってしまう。>>231は
このようなポンコツ演算子を使ったがゆえに矛盾が起きただけのこと。
0233１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 06:24:58
だから、情報処理の記述だって断ってるだろ？数学の記述じゃないぞ？
0234１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 06:26:42
プログラミング用語でキャストと言ったりするがな＝３
0235１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 06:28:30
実際プログラムすると数の取り扱い方が違うからとんでもない数字になったりするが
0236１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 06:31:00
>>233
何が書いてあるのか読めなかったのか？オマエの言う「情報処理の記述」は
ポンコツ(well-definedでない)なので、矛盾が起きるのは当たり前なわけ。
x＝yなのにINT(x)≠INT(y)が成り立つことがあるわけ。
0237１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 06:32:10
別にどんな数にも適応できる修飾演算子だが？
情報処理の世界ではintは「小数点以下切捨て」になってんだから
0238１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 06:37:39
>>237
情報処理の世界では有限小数しか扱えない。情報処理の世界におけるintは、
「どんな数にも適用できる」と思いきや、実はそうではなくて、有限小数に
しか適用されていない。そのような演算子を勝手に無限小数に適用しようと
したのが間違い。
0239１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 06:43:00
だから概念だからコンピュータが完全にその処理を完璧におこなうわきゃーねえだろうがｗ
0240１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 06:48:01
設計で使うだけだから無理数だろうが、有理数だろうが、無限だろうが、有限だろうが
概念だから有限小数点
関係なし
馬鹿だろオマエ？？
0241１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 07:15:20
>>239
0.999…＜1が成り立つとすると、オマエの言うintを用いることで矛盾が発生する。

0.999…＜1が成り立つとする。xを0以上の実数とする。このxを無限小数展開して
x＝a1a2…an.a(n＋1)a(n＋2)…とすると、int(x)＝a1a2…anであるから、
x−int(x)＝0.a(n＋1)a(n＋2)…≦0.999…＜1が成り立つ。つまりx−int(x)＜1が
成り立つ。まとめると、0以上の実数xに対して、x−1＜intxが成り立つ…＊ことに
なる。さて、x＝1−0.999…とおく。0.9＜0.999…＜1であるから、0＜x＜0.1が成り
立つことになる。このとき1/x＞10であり、よって特にlog[10]x＞1である。そこで
n＝int(log[10](1/x)) とおくと、nは自然数となる。＊を用いて1/10^(n＋1)＜xと
いう不等式を得るので、この不等式にx＝1−0.999…を代入して変形すると
0.999…＜1−1/10^(n＋1)＝0.99…999 (←9がn＋1個だけ並んでいる)となる。
つまり0.999…＜0.99…999 (←9がn＋1個だけ並んでいる)となる。矛盾。
0242１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 07:17:41
オオウ…文脈から分かると思うが、訂正。
誤：このとき1/x＞10であり、よって特にlog[10]x＞1である。
正：このとき1/x＞10であり、よって特にlog[10](1/x)＞1である。
0243１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 07:28:50
>>236にいっとくが、
ポインタ使わない言語とか浮動少数ユニットがない機械とか
使ってるんｳｼﾞだから勘弁してやれ。でも>>237をもっと潰してやれ
0244１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 07:32:15
>>240にいっとくが、
ポインタ使わない言語とか浮動少数ユニットがない機械とか
使ってるんｳｼﾞだから勘弁してやれ。でも>>236 >>237をもっと潰してやれ

間違えた。>>236 >>237と共に逝ってくる。
0245１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 07:40:02
>>228
＞1=0.9999…ならば
＞(int)(x+1) = (int)(x+0.9999…)
＞となるはずだが…
ダウト。1＝0.999…ならば1＋x＝x＋0.999…が成り立つ。しかし、だからといって、この式の
両辺にint演算子をつけてもイコールが保存されるとは限らない。つまりint(1＋x)＝int(x＋0.999…)が
成り立つとは限らない。それなのに勝手に「int(1＋x)＝int(x＋0.999…)となるはずだが」と宣言
しているのが間違い。
0246１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 07:58:00
なあ、ふと思ったがなぜ、アプローチの違いででる解が二つに分離するかなぁ
1÷3×3=1と0.999…
素朴すぎる疑問だが、いや漠然すぎるか
0247１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 08:12:20
そろそろこの論争も収集つかないんじゃない？
0248１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 08:14:03
>>246
１÷３の結果が０．３３３…となるのは、単なる近似値とか言っている人がいたな。
つまり無限小数は分数を正確に表しきれないとか主張するわけだ。

無限小数はそもそも存在しない…なんて人もいるな。
0249１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 08:27:22
うーん
なかなかグットといいたいがもう一つ良いかな？
ならば近似値を足しあわせて0.9999…になるわけだね
近い値を足しあわせるわけだから
0.9999…は正確な値ではないと？
ありゃ？なに言ってんだおりは？？
0250１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 08:43:24
有理数を小数点で考えるのがそもそも大きな間違えか？と思ってみたり
0251１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 09:01:05
>>250
そんなことを主張する人もいるだけのはなしで、フツーはどんな分数でも無限小数を
使うと表せるって考え、ついでに１＝０．９９９９…を認めるのがフツーだろうねえ。
0252１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 09:28:35
>>246
小学校の算数の授業をもう一回やり直せ、というのも飽きたので、
少しまともに書き込むと、１÷３と０．３３３…は単なる表記の違い。
循環小数の表記を教わったときのことを思い出してみれば、
その違いが分かるはずだと思う。
１÷３は０．３３３…と表記してもいいけど、
０．３３３…は１÷３を意味しているとは言えない。
0253１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 09:48:14
でも＝だけどな
0254１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 10:02:50
>>253
循環小数は無限桁目も同じ値を持つという意味、
それに対して0.9999…は何も定義されてはいない。
小数0.9999…と[無限桁目が０という値を持つ0.9999…]との、
大小関係を調べるとしたどうする？それでも＝だといえるのか？
0255１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 12:00:49
>>254
日本語でおけ
0256１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 12:04:00
X=0.999...
１０X=9.999...
９X=9
X=9
QED
0257１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 14:15:28
＞小数0.9999…と[無限桁目が０という値を持つ0.9999…]との大小関係を

またアホが湧いたよ・・・
0258１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 14:27:28
A1 = [0, 0.9] 、
A2 = [0, 0.99] 、
A3 = [0, 0.999] 、･･･、
Ａ = ∪{n=1,2,3,…}An　とおくと、
Ａ = [0, 1)
である。
0.999…　∈ A
0259１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 14:34:17
B1 = [0.1, 1] 、
B2 = [0.01, 1] 、
B3 = [0.001, 1] 、
･･･、
B = ∪{n=1,2,3,…}Bn　とおくと、
B = (0, 1]
である。
！（　0 ∈ B ）
0260１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 14:59:08
>>252
そこまで単純な事は聞いてないが？
みてくれの話はいいとして
1+1=2になるこんな漠然としたものを証明した数学者もいる。それを解くほどの高度な解答をもらいたかったのだが…
0261１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 15:19:27
ところでだ余談なのだが
1/2 + 1/2/2 + 1/2//2/2 + 1/2/2/2 + …
この無限の演算の解も0.9999…だが
これは数学の世界じゃこの結果は1にはならないって、やつがあるがこれは？
02622612006/08/19(土) 15:22:02
間違えた
ところでだ余談なのだが
1/2 + 1/2/2(1/4) + 1/2/2/2(1/8) + 1/2/2/2/2(1/16) + …
この無限の演算の解も0.9999…だが
これは数学の世界じゃこの結果は1にはならないって、やつがあるがこれは？
0263１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 15:34:48
>
0264１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 15:37:50
>>260
1+1=2の証明ってなにを示してんの？
0265１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 15:42:03
まあ、議論対象外だが1+1が2になる証明だ。随分前に見たものだから詳細不明
数の悪魔って本にのってたかも
0266１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 15:47:34
単純に定義に帰って示すってことさ。
ペアノの公理使って。
たとえば自然数の組〈Ｎ、ｆ、0〉に対して
1+0＝1
1＋1＝ｆ(1)＝2みたいな感じで。

関係ないがたぶん1＝0、999…とかの問題で悩んでる人は「定義」という言葉の意味を理解できてないと思われる。
0267１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 15:49:59
誰か>>262の問題答えてくれ
0268１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 15:54:20
>>267
2進数か10進数かの違いだ。気にすんな。
0269１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 15:59:18
1=0.9999…ならば
0.9999…は正数？
1は少数？
0270１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 16:51:19
たった1日で>>197が乱れ打ちだな。
0271１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 16:54:24
>>270お前もなｗ
0272１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 17:20:56
>>270-271
人の批判ばかりやったって始まらないぞ？
0273１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 17:53:38
そもそも、1=0.9999…と1≠0.9999…の議論を一つに絞るのが無理じゃ？答えは一つとは限らないのでは？
この問題は数式上の問題であって物理的には全くもって無意味だし
0274１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 18:34:01
ペアノの公理で、
２の定義は
１＋１そのものだろう。
0275１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 20:57:19
>>274違います。
ペアノの公理で自然数の組<Ｎ、ｆ、0>を定義したあとに加法を導入しています。
0276１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 21:05:45
それはおいておけ
0277１３２人目の素数さん2006/08/19(土) 22:01:13
>>275
ペアノ算術ならそうじゃないよ
0278１３２人目の素数さん2006/08/20(日) 02:35:41
>>257
無限遠で交わる平行線って知ってる？
0279１３２人目の素数さん2006/08/20(日) 04:05:59
有限超実数に無限桁目という概念がうまく構成できたとすると、x＝0.a1a2a3…aω∈galaxy(0)に
対してst(x)＝ 0.a1a2a3…∈R(無限桁目を無視する)となる。このとき、xとst(x)はどちらが
大きいのか。>>254にとっては、
・小数0.9999…∈R
・[無限桁目が０という値を持つ0.9999…]∈galaxy(0)
こんな感じなのだろう。x＝[無限桁目が０という値を持つ0.9999…]，y＝小数0.9999…とおくと、
R⊂galaxy(0)⊂R^*であるから、(R^*が順序体なので)xとyには大小関係が定義できるはず。で、実際
どっちが大きいのかと。まあ、st(x)＝yだからx＝y＋ε (εは無限小)となり、x，yの形からε≧0
なのでx≧yとなるのだが、そもそも超実数を無限小数展開できるのかは知らない。
0280１３２人目の素数さん2006/08/20(日) 15:31:25
yの定義が(無限桁目に触れてないので)いまいちだが、
st(y)=x とすれば、x=y
0281１３２人目の素数さん2006/08/20(日) 17:25:01
>>279
『小数0.9999…』を実数だと決め付けていないか？
この形で実数だとすると、それは循環小数でしかありえないのでは？
0282１３２人目の素数さん2006/08/20(日) 18:42:23
実数とは複素数でない数
0283１３２人目の素数さん2006/08/20(日) 18:53:31
そんなことを言うと、ちょー実数もフツーの実数として扱えと言う輩が…
0284１３２人目の素数さん2006/08/20(日) 20:04:28
１．0＜ｘ≦1に於いて、少数点以下の無限桁目がどのような値をとろうとも、
　　小数点以下の有限桁目の各桁の値が９である小数は、循環小数である。

２．自然数ｎは無限大という値はとらないが、ｎの個数は無限である。

上記１．２．の設問は真であろうか?
設問１．の表現はおかしいので、書き換えてみると、
0＜ｘ≦1に於いて、少数点以下のｎ(ｎは自然数)桁目の値が９である小数は、
循環小数である。

書き込んでみると、馬鹿な書き込みだと気が付くが、
今までこんな考え方をしたことがなかったので、
記念書きこします。（突っ込まないでね。）
0285１３２人目の素数さん2006/08/20(日) 23:44:01
ちょっとした疑問だが
1に無限に近いく、1より小さい数ってどんな数？
0286１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 00:12:06
「そういう数は無い」でいいと思う。
これも「近い」「小さい」の定義によるね。
0287１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 00:25:12
調べてみたが、微積分を使ったやり方と、超準解析での数の方法で
随分と違うみたいだな
1=0.9999…(微積分)>>286の考え
1≠0.9999…(超準解析)>>285の考え
で分かれるらしい。
超準解析はあまり知らないので調べて見る必要が出てきたわ

今日、知った分だから概要は知らんが
微積分では、0に限りなく近い数に関しては放置だが
超準解析は、0に近い数に関して定義が行われているようだ。
なんにしろ興味あるなｗ
0288>>2872006/08/21(月) 00:39:51
追加情報
ちなみに超準解析では
1/3=0.3333…*3=1らしい。0.9999…にはならないからな？
ここで、超準解析では0.9999…は1に限りなく近い数字ということになるのかな？
四則演算すら、再定義されてるわ(ワラ

ここは、両者、微積分の考え方か、超準解析の考え方かの違いなのでは？
0289１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 00:57:32
別に超準解析なら1≠0.999…と言うわけじゃないでしょ。
ただ、超準モデルでは「実数」と言ってもスタンダードな実数と超実数があるし
「自然数」の中にもスタンダードな自然数と超自然数があるから、
解釈の違いで結論が変わってくるという議論がしやすいってのがあるけど。
0290１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 01:33:27
じゃあ、すべてこの問題は解釈の違いで解決って事になるじゃん
(´・ω・)＜好きな方をお取りくださ〜い
0291１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 01:35:26
>>290
そうなんだけどそういう解釈とか定義とか公理とかそういうのを超越した
真実があるんじゃないか、と思っている人が多いんですよ。
0292１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 01:36:08
X=0.999...
１０X=9.999...
９X=9
X=1
QED
0293１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 01:47:14
0に限りなく近い数は存在するのか？
1 存在しません(微積)
2 1個存在します(何だっけ)
3 無限に存在します(超準解析)
と、訳わからん複数の回答があるが全て違う論理のもとにある。
コレと一緒で解釈の違いで0.9999…を1とするか、1以下とするかになるんじゃねぇか？
0294１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 01:58:19
まあそうじゃなくても、10進小数展開表現全体みたいなものを考える
（これを、極限が一致するという同値関係で割ったものが通常の実数）
ってのもありだよな。大小は辞書的順序で考えて。こっちのほうが
より直観的かな。問題は演算がうまく定義できない事だが。
0295１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 02:12:19
今日は結構穏やかに進んでんじゃねぇか？相手を愚弄する批判のしあいもないし
ちったぁマシな議論になってきたな
0296１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 02:39:16
まとめ

微積
0.9999…は無限の演算のもとでその数とと1の差は0となり、その数は1となる。
0に限りなく近く0ではない数は存在しない定義が原因

超準解析
0.9999…は無限の演算を行えども1に近づく一方で1に到達することはなくその数は1とはならない
0に限りなく近く0でない数は存在する定義が原因

と大ざっぱにまとめてみたが
無限小の解き方の違いなのでは？
お互いに部があるのは否めないのは事実
0297１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 02:57:37
超準解析では普通に0.999……=1だと何度言ったらわかるのかと
0298１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 03:11:43
バカがでたよ
0299１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 03:20:55
無限小の定義の違いだって言ってるだ
1に限りなく近く1以下の数は存在するか？
1.有理数あるいは実数だけ考えれば存在しない
2.超準解析のような実数の拡大体を考えるなら、無限個存在する
その数は紛れもなく0.9999…だが？
0300１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 03:27:17
ああ、ちなみに1というのは超実数ね
0301１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 04:08:59
x = 1として
(x - ε) ≠ x
εは無限大Lの逆数
ε = 1/L
0302１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 04:22:03
それで？
0303１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 04:37:24
>>302それで？てっ何？
随分と脱力だねぇ
0304１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 05:37:46
>>303
>>301にはごく当たり前の事実が書かれているに過ぎず、何が言いたいのか分からない。誰だって、

1＋1＝2

と書かれていたら「それで？何が言いたいのだ？」と思うだろう。>>301はこれと同レベル。
0305１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 10:22:08
数セミ増刊で0.999…=1は超準解析でも成立と書いた人の気持ちがわかるな
0306１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 11:59:19
>>301
あれだろ1に限りなく近く1以下の数について書いてある
超準解析に関するの式だろうよ
0307１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 18:49:06
　A
(｀θ´)ﾑｽﾞｶｼｲｯﾋﾟｰ
0308１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 18:56:02
ちと、思ったが(x - ε) ≠ x >>301が成り立つのであれば
1 - εをすると桁落ちして0.9999…になるんじゃ？
0309１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 19:13:45
>>308
その考え方の場合、1−ε/2(≠1−ε)もまた0.999…と表されることになり、
0.999…が表す(超)実数は一意に定まらない。
0310１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 19:47:59
(1 - ε)から
(1 - ε/2)
(1 - ε/3)
…
(1 - ε/L)
これが1に限りなく近く1以下の数は無限に存在するという超準解析から引っ張ってきたやつだが
何にしろ
桁落ちするんじゃないのか？
0311１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 19:57:39
>>310
まずは「限りなく近く」の定義を書いてくれ。次に
＞これが1に限りなく近く1以下の数は無限に存在するという
ここは全然日本語になってないから、書き直してくれ。
0312１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 20:21:17
スレタイの0.9999…と>>308の言う0.9999…が同じなのかどうかを、
まず説明しろよ。
イヤ、スレタイの0.9999…は何であるか規定してないから、
議論になるのであって、それだからおもしろいのであって、
0.9999…＝１と主張していた連中の方の、
0.9999…がどんな物であるか定義させなきゃいけないな。
0313１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 20:27:57
逆だろう
0314１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 20:47:28
>0.9999…＝１と主張していた連中の方の、

嫌と言うほど書いてあるだろう。
0315１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 20:56:17
超準解析で 0.999… を扱う場合、…と続く「桁」が何なのかが問題になる。
無限大である超自然数の桁数まで続くのか、
それともスタンダードな自然数だけなのか。
超自然数すべての桁で考えれば 0.999…=1 だし、
そうじゃなければ 0.999…≠1。
0316１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 21:05:57
超準解析じゃ
1/3=x*3は0.9999…にはならない解は1だ
よく、皆がやってる
1/3=0.333…*3=0.999…は確かに超準解析では途中の課程で0.999…にはなるがなでも最終的には1になるし
0317１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 21:10:25
>>314
何処に書いてある？
循環小数と書けば済むことを、級数を持ち出してみたり、
見苦しいだけだったろ。
0318１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 21:13:20
どのような条件か書かなかったのがそもそもの間違えだったか
1=0.999…とスレッド名に漠然と書かれちゃなぁー
0319１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 21:16:29
>>315
が書いたのが最終的な答えか
0320１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 21:30:57
＞超自然数
プッ！ＡＡなし
0321１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 21:31:07
>>315も間違いだろう。
0322１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 21:53:16
>>321
どこが間違い？
0323１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 21:57:30
>>321
流れ嫁
0324１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 21:59:57
>>317
何も分かっていない。循環小数の定義にはRにおけるユークリッド距離に
関する極限の概念が使われている。これは級数による表現と全く同等。
見苦しいとか言ってる時点でオワットル。実数論の勉強し直して来い。
0325１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 22:12:55
で、結局どっちなんだ？
1.1=0.9999…
2.1!=0.9999…
3.超自然数かスタンダードな自然数かによってかわる
0326１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 22:13:20
>>317
君レベル低すぎ
0327１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 22:18:07
どっちにもできるけど超準解析使って変わるわけじゃないってことだろ。で、今井みたいに変な実数でも許容できる我慢強いやつ以外にとっては≠はありえないと。
0328１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 22:25:20
どっちでも良かったなんてちょっと拍子抜けだよ
固定概念に縛られ両方の可能性を検討することを拒否したのは良いことではなかったな
0329１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 23:05:22
>>324
このスレでそれを言うなら、その証明をするべきだろ。
えらそうな書き込みは証明してからにしてくれ。
0330１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 23:07:23
証明っておい・・・
0331１３２人目の素数さん2006/08/21(月) 23:13:41
循環小数の定義って結構難しいよね。直観的には筆算で割り算して
「あー、ここから循環しとる」とか思えばいいだけだけど。
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