A=X+Y=1/2(A+tA)+1/2(A-tA)=A

A、X、Yの(i,j)成分をそれぞれa_ij、x_ij、y_ijと書くとすると
x_ij=1/2(a_ij+a_ji)=1/2(aj_i+a_ij)=x_ji　より対称行列
y_ij=1/2(a_ij-a_ji)=-1/2(a_ji-a_ij)=-y_ji　より交代行列

これは任意の正方行列は対称行列と交代行列の和で表せるということですよ。