>>126
>>129は条件が全てのaについて成り立つと勘違いしていそう。

f'(x)は連続なので、
もしf'(x)=0となるxが無ければ
-a＜x＜a で常にf'(x)＞0か常にf'(x)＜0になる。
これを仮定して条件との矛盾を導く。

f'(x)＞0のとき、
0≦x＜a では f(x)≧f(0)、xf(x)≧xf(0)
-a＜x＜0 では f(x)＜f(0)、xf(x)＞xf(0)
だから
∫[-a,a]xf(x)dx ＞ ∫[-a,a]xf(0)dx = 0
ゆえに∫[-a,a]xf(x)dx=0にはなり得ない。

f'(x)＜0のときも同様に
∫[-a,a]xf(x)dx=0にはなり得ないので、
f'(x)=0となるxが無いことが否定される。