グラフ的な意味を最大限考えると良いよ．参考にしてみて．

f(x)=2x^2-12x+a=2(x^2-6x)+a=2(x-3)^2+a-18
軸x=3である．よって，題意の解7個は，x=0，1，2，3，4，5，6．
すなわち，題意を満たすf(x)の条件は，
f(0)<0・・・・・・・・・・・・・・・・・a<0
f(-1)≧0・・・・・・・・・・・・・・・2+12+a≧0，a≧-14
以上から，-14≦a<0．　・・・かな
【-14のときも大丈夫です．解に-1入らないから】