その無限組のペアから１組を選ぶという行為自体定義できないだろう。
それぞれのペアに自然数の通し番号を付けることはできるが、
任意の自然数が等確率で選ばれるように数を選ぶという行為を、
どう数学的に定義するつもりなんだ？
そんなことはできない。それで終わり。

等確率でなければ、もちろん定義できる可能性はあるがな。
要は、ｎを選ぶ確率をP(n)として
Σ_{n=1,∞}P(n)=1になるようにすればいいだけ。
しかし、等確率と言った時点で
Σ_{n=1,∞}a=1となるようなaは存在しない。
よって、その行為は定義できない。
（もちろん、現実問題とすれば、無限の数のカードを用意することなど不可能。）