k(k+1)じゃなくてk(k-1)でした。

和がk+3である確率
(k/n^k)+{k(k-1)/2n^k}+{k(k-1)(k-2)/6n^k}
和がk+4である確率
(k/n^k)+{k(k-1)/2n^k}+{k(k-1)(k-2)/6n^k}+{k(k-1)(k-2)/24n^k}

なんか間違ってる気がしますが一応考えてみました。
でも規則性がイマイチ把握出来ません。