x≧0 であるすべての実数xに対して,不等式

x^3-2≧3k(x^2-2)

が成り立つような実数kの値の範囲を求めよ。

kの場合分けして、増減表書いて極小値を使って無理矢理解いたのですが不安です。
『不等式』の分野なので不等式らしい解法を教えて下さい。