すまない日本語変だった。
それなら1/ｎ（ｎ＋１）を1/n-1/n+1の形に分けそのそれぞれの係数
α、Βが存在すると仮定する。
1/n-1/n+1を通分すると分子は(α-Β)ｎ+αとなる。
したがって(α-Β)ｎ+α＝1・・・①となる。任意の自然数ｎについて①
が成り立つようなα、Βが存在すればよいのでα-Β＝0かつα＝1
ときα＝1かつΒ＝1で確かに存在する。(ただし毎回こんなことするのは面倒なので1/n-1/n+1として後で係数を合わせる)
よって1/ｎ（ｎ＋１）＝1/n-1/n+1となる。
1/ｎ（ｎ＋１）の1～ｎの和＝1/n-1/n+1の1～ｎの和なので
1/n-1/n+1の1～ｎの和＝(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+～+
(1/n-1-1/n)+(1/n-1/n+1)となる。ここで1項目の後ろの-1/2と
2項目の前の1/2が消え同じことがn-1項目の後ろの-1/nと
ｎ項目の前の1/nまで続くので整理すると、1-1/n+1となる。
よって、1/n-1/n+1の1～ｎの和＝1-1/n+1・・・(答)
まあ関係ないだろうけどorz