>>327
1・2+3・4+・・・・・+n(n+1)
=Σ[k=1,n]k(k+1)
=Σ[k=1,n](k^2+k)
=Σ[k=1,n]k^2 + Σ[k=1,n]k
=n(n+1)(2n+1)/6 + n(n+1)/2
=n(n+1){(2n+1)+3}/6
=n(n+1)(2n+4)/6
=n(n+1)(n+2)/3

f(k+1)−f(k)の形にはならないと思いますが。