>>878
少し付け加えます。

f(x)=x^3とする。
任意の点x=a(a∈R)を固定する。

任意の正の数εに対してδ<(|a|^3+ε)^(1/3)+|a|　を満たす正の数δをとってくると
　δ-|a|<(|a|^3+ε)^(1/3)
両辺を３乗して
　(δ-|a|)^3-|a|^3<ε･････①

このとき
|x-a|<δ　を満たす任意のxに対して
　|x|-|a|≦|x-a|<δだから　|x|<|a|+δ･･････②
　よって
　|f(x)-f(a)|=|x^3-a^3|=|(x-a)(x^2+ax+a^2)|=|(x-a)^3+3ax(x-a)}|
　≦|x-a|^3+3|a||x||x-a|
　　　　　　　　　　↓②
　=δ^3+3|a|(|a|+δ)δ　　　
　=δ^3+3δ^2|a|+3δ|a|^2
　=(δ-|a|)^3-|a|^3<ε　 　（←①）

よって、f(x)はx=aにおいて連続である。